Question

7．斐波那契（約1170-1250，意大利數(shù)學(xué)家）數(shù)列是按某種規(guī)律排列的一列數(shù)，他發(fā)現(xiàn)該數(shù)列中的每個(gè)正整數(shù)都可以用無理數(shù)的形式表示，如第n（n為正整數(shù)）個(gè)數(shù)a_n可表示為$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ-（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ]．
（1）計(jì)算第一個(gè)數(shù)a₁；
（2）計(jì)算第二個(gè)數(shù)a₂；
（3）證明連續(xù)三個(gè)數(shù)之間a_n-1，a_n，a_n+1存在以下關(guān)系：a_n+1-a_n=a_n-1（n≥2）；
（4）寫出斐波那契數(shù)列中的前8個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）（2）代入計(jì)算即可求解；
（3）根據(jù)乘法分配律即可證明：a_n+1-a_n=a_n-1（n≥2）；
（4）根據(jù)（3）的關(guān)系可求斐波那契數(shù)列中的前8個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）a₁=$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）-（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）]=$\frac{1}{\sqrt{5}}$×$\sqrt{5}$=1；

（2）a₂=$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）²-（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）²]=$\frac{1}{\sqrt{5}}$×$\sqrt{5}$=1；

（3）證明：a_n+1-a_n=$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ⁺¹-（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ⁺¹]-$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ-（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ]
=$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ⁺¹-（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ]-$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ⁺¹-（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ]
=$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$-1）]-$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$-1）]
=$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）]-$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ（-$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）]
=$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）^n-1-（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）^n-1]；

（4）斐波那契數(shù)列中的前8個(gè)數(shù)是1，1，2，3，5，8，13，21．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二次根式的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟悉斐波那契數(shù)列的規(guī)律．