Question

17．（1）[問題發(fā)現(xiàn)]
已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠CAB=∠EAD=90°，連接CE，BD，猜想線段CE，BD的數(shù)量關(guān)系為CE=BD；

（2）[問題研究]
如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠CAB=∠EAD=90°，點E，D，B在同一條直線上，AM為△ADE斜邊上的高，連接CE，請判斷CE，AM，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）[問題解決]
如圖3，在正方形ABCD中，AB=5，若在同一平面內(nèi)的點P滿足PD=2，且∠BPD=90°，請求出△ABP的面積．

Answer 1

分析 （1）CE=BD，證明△AEC≌△ADB，可得結(jié)論；
（2）BE=2AM+CE，同理得：△AEC≌△ADB，則CE=BD，再由等腰三角形三線合一及直角三角形斜邊中線是斜邊一半得：ED=2AM，則BE=2AM+CE；
（3）分兩種情況：
根據(jù)∠BPD=90°，可以看作是：BP是以D為圓心以2為半徑的圓的切線，
①如圖3所示，作輔助線，構(gòu)建等腰直角三角形和全等三角形，證明△ADP≌△ABE，則BE=PD=2，利用勾股定理求對角線BD和PB的長，再利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半得AF的長，代入面積公式可求得S_△ABP的值；
②如圖4所示，同理可得結(jié)論．

解答 解：（1）CE=BD，理由是：
如圖1，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AE=AD，AC=AB，
∵∠CAB=∠EAD=90°，
∴∠CAB-∠CAD=∠EAD-∠CAD，
即∠DAB=∠EAC，
∴△AEC≌△ADB，
∴CE=BD；
（2）BE=2AM+CE，理由是：
如圖2，同理得：△AEC≌△ADB，
∴CE=BD，
∵△ADE是等腰直角三角形，AM⊥ED，
∴EM=DM，
∴ED=2AM，
∴BE=ED+BD=2AM+CE；
（3）∵PD=2，∠BPD=90°
∴BP是以D為圓心以2為半徑的圓的切線，
①如圖3所示，過A作AE⊥AP，交PB的延長線于E，連接BD，
∵∠DAB=∠DPB=90°，
∴D、A、B、P四點共圓，
∴∠ADP+∠ABP=180°，
∵∠ABP+∠ABE=180°，
∴∠ADP=∠ABE，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=AB，
∵∠DAP+∠PAB=90°，
∠PAB+∠BAE=90°，
∴∠DAP=∠BAE，
∴△ADP≌△ABE，
∴BE=PD=2，
∵AD=AB=5，
∴BD=$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
在Rt△PDB中，PB=$\sqrt{（5\sqrt{2}）^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{46}$，
∴PE=PB+BE=2+$\sqrt{46}$，
過A作AF⊥PB于F，
∴AF=$\frac{1}{2}$PE=$\frac{1}{2}$（2+$\sqrt{46}$）=1+$\frac{1}{2}$$\sqrt{46}$，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$PB•AF=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{46}$×$（1+\frac{1}{2}\sqrt{46}）$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{46}$+$\frac{23}{2}$；
②如圖4所示，過A作AE⊥AP，交PB于E，連接BD，
∵∠C=∠DPB=90°
∴D、C、B、P四點共圓，
∴∠CDP+∠CBP=180°，
∵∠ADC=90°
∴∠ADP+∠CBP=90°
∵∠ABP+∠CBP=90°，
∴∠ADP=∠ABE，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=AB，
同理得：∠DAP=∠EAB，
∴△ADP≌△ABE，
∴BE=PD=2，
∵AD=AB=5，
∴BD=$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
在Rt△PDB中，PB=$\sqrt{（5\sqrt{2}）^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{46}$，
∴PE=PB-BE=$\sqrt{46}$-2，
過A作AF⊥PB于F，
∴AF=$\frac{1}{2}$PE=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{46}$-2）=$\frac{1}{2}$$\sqrt{46}$-1，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$PB•AF=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{46}$×$（\frac{1}{2}\sqrt{46}-1）$=$\frac{23}{2}$-$\frac{1}{2}\sqrt{46}$；
綜上所述，△ABP的面積為$\frac{1}{2}$$\sqrt{46}$+$\frac{23}{2}$或$\frac{23}{2}$-$\frac{1}{2}\sqrt{46}$．

點評 本題是四邊形和三角形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、四點共圓的性質(zhì)和判定、三角形全等的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，前兩問構(gòu)建全等三角形是關(guān)鍵，第三問構(gòu)建輔助圓與切線是關(guān)鍵．