Question

16．如圖，已知拋物線y=x²+bx+c的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B（5，0），另一個(gè)交點(diǎn)為A，且與y軸交于點(diǎn)C（0，5）．
（1）求直線BC與拋物線的解析式；
（2）在（1）中的拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長(zhǎng)最小？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）若點(diǎn)M是拋物線在x軸下方圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥y軸交直線BC于點(diǎn)N，求MN的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法直接求出直線BC和拋物線解析式；
（2）先判斷出點(diǎn)Q的位置，即可得出坐標(biāo)；
（3）利用平行于y軸的直線上的兩點(diǎn)之間的距離確定出函數(shù)函數(shù)關(guān)系式即可確定出最大值．

解答 解：（1）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
∵B（5，0），C（0，5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=0}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=-x+5；
∵拋物線y=x²+bx+c的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B（5，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{25+5b+c=0}\\{c=5}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-6}\\{c=5}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=x²-6x+5；
（2）如圖1，

∵點(diǎn)A，B是拋物線y=x²-6x+5與x軸的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)A，B關(guān)于拋物線y=x²-6x+5的對(duì)稱(chēng)軸x=3對(duì)稱(chēng)，
∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)Q，使得△QAC的周長(zhǎng)最小，
∴點(diǎn)Q就是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與直線BC的交點(diǎn)，
∴Q（3，2）；
（3）如圖2，

∵拋物線的解析式為y=x²-6x+5；
∴A（1，0），B（5，0），
設(shè)點(diǎn)M（m，m²-6m+5）（1＜m＜5），
∴N（m，-m+5），
∴MN=-m+5-（m²-6m+5）
=-m²+5m=-（m-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
∴當(dāng)m=$\frac{5}{2}$時(shí)，MN最大是$\frac{25}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，函數(shù)極值的確定，解（1）的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，解（2）的關(guān)鍵是利用對(duì)稱(chēng)點(diǎn)確定三角形周長(zhǎng)最小時(shí)的點(diǎn)Q的位置，解（3）的關(guān)鍵是確定出MN的函數(shù)關(guān)系式．