Question

9．如圖，已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=2，BC=3，點(diǎn)P是AD上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P異于A、D兩點(diǎn)），Q是BC上任意一點(diǎn)，連結(jié)AQ、DQ，過P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．
（1）填空：△APE∽△ADQ，△DPF∽△DAQ．
（2）設(shè)AP的長(zhǎng)為x，△APE的面積為y₁，△DPF的面積為y₂，分別求出y₂和y₁關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在邊AD上是否存在這樣的點(diǎn)P，使△PEF的面積為$\frac{3}{4}$？若存在求出x的值；若不存在請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)相似三角形的判定定理證明即可；
（2）根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計(jì)算即可；
（3）根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵PE∥DQ，
∴△APE∽△ADQ，
∵PF∥AQ，
∴△DPF∽△DAQ，
故答案為：ADQ；DAQ；
（2）設(shè)△ADQ的面積為y，
∴S=$\frac{1}{2}$×AD×AB=3，
由△APE∽△ADQ得：y₁：y=（$\frac{AP}{AD}$）²=$\frac{{x}^{2}}{9}$，
∴y₁=$\frac{1}{3}$x²，
同理可得y₂=$\frac{1}{3}$（3-x）²；
（3）∵PE∥DQ，PF∥AQ，
∴四邊形PEQF是平行四邊形，
∴△PEF的面積等于$\frac{1}{2}$（y-y₁-y₂）=-$\frac{1}{3}$x²+x
當(dāng)y=$\frac{3}{4}$時(shí)，則-$\frac{1}{3}$x²+x=$\frac{3}{4}$，
解這個(gè)方程得：x=$\frac{3}{2}$，
即存在這樣的點(diǎn)P，當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)是△PEF的面積為$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是相似三角形的知識(shí)的綜合運(yùn)用，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．