Question

13．如圖，已知A、C、D為⊙O上三點(diǎn)，過(guò)C的切線MN與弦AD平行，AD=2，AC=$\sqrt{5}$，延長(zhǎng)AO交⊙O于B，交MN于P，則S_△ACP=（　�。�

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． 2
• D． $\frac{3}{2}\sqrt{5}$

Answer 1

分析 延長(zhǎng)CO交AD于E，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥MN，根據(jù)平行線的性質(zhì)、勾股定理求出CE，設(shè)⊙O的半徑為r，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程求出r，證明△AOE∽△POC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出CP，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．

解答 解：延長(zhǎng)CO交AD于E，
∵M(jìn)N是⊙O的切線，
∴OC⊥MN，
∵M(jìn)N∥AD，
∴CE⊥AD，
∴AE=DE=1，
∴CE=$\sqrt{A{C}^{2}-A{E}^{2}}$=2，
設(shè)⊙O的半徑為r，
在Rt△AOE中，r²=1²+（2-r）²，
解得，r=$\frac{5}{4}$，
∴OE=CE-OC=$\frac{3}{4}$，
∵M(jìn)N∥AD，
∴△AOE∽△POC，
∴$\frac{CP}{AE}$=$\frac{CO}{OE}$，即$\frac{CP}{1}$=$\frac{\frac{5}{4}}{\frac{3}{4}}$，
解得，CP=$\frac{5}{3}$，
∴S_△ACP=$\frac{1}{2}$×CP×CE=$\frac{5}{3}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是切線的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．