Question

如圖，拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，已知B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）試探究△ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)M是線段BC下方的拋物線上一點(diǎn)，求△MBC的面積的最大值，并求出此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）（2）該外接圓的圓心為AB的中點(diǎn)，且坐標(biāo)為：（，0）（3）當(dāng)h最大（即點(diǎn)M到直線BC的距離最遠(yuǎn)）時(shí)，△ABC的面積最大，M（2，﹣3）

解：（1）∵B（4，0）在拋物線的圖象上
∴，即：。
∴拋物線的解析式為：。
（2）由（1）的函數(shù)解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）。
∴OA=1，OC=2，OB=4。∴。
又∵OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB。∴∠OCA=∠OBC。
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°。
∴△ABC為直角三角形，AB為△ABC外接圓的直徑。
∴該外接圓的圓心為AB的中點(diǎn)，且坐標(biāo)為：（，0）。
（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直線BC的解析式為：y=x﹣2。
設(shè)直線l∥BC，則該直線的解析式可表示為：y=x+b，當(dāng)直線l與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可列方程：x+b=，即： x²﹣4x﹣4﹣2b=0，且△=0。
∴16﹣4×（﹣4﹣2b）=0，解得b=4。∴直線l：y=x﹣4。
∵，當(dāng)h最大（即點(diǎn)M到直線BC的距離最遠(yuǎn)）時(shí)，△ABC的面積最大。
∴點(diǎn)M是直線l和拋物線的唯一交點(diǎn)，有：
，解得：�！� M（2，﹣3）。
（1）該函數(shù)解析式只有一個(gè)待定系數(shù)，只需將B點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式中即可。
（2）根據(jù)拋物線的解析式確定A點(diǎn)坐標(biāo)，然后通過(guò)證明△ABC是直角三角形來(lái)推導(dǎo)出直徑AB和圓心的位置，由此確定圓心坐標(biāo)。
（3）△MBC的面積可由表示，若要它的面積最大，需要使h取最大值，即點(diǎn)M到直線BC的距離最大，若設(shè)一條平行于BC的直線，那么當(dāng)該直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，該交點(diǎn)就是點(diǎn)M。