Question

9．已知拋物線C：y=x²-4x．
（1）求拋物線C的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）將拋物線C向下平移，得拋物線C′，使拋物線C′的頂點(diǎn)落在直線y=-x-7上．
①求拋物線C′的解析式；
②拋物線C′與x軸的交點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），拋物線C′的對(duì)稱軸于x軸的交點(diǎn)為N，點(diǎn)M是線段AN上的一點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線MF⊥x軸，交拋物線C′于點(diǎn)F，點(diǎn)F關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，點(diǎn)P是線段MF上一點(diǎn)，且MP=$\frac{1}{4}$MF，連接PD，作PE⊥PD交x軸于點(diǎn)E，且PE=PD，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把拋物線解析式化為頂點(diǎn)式可求得拋物線C的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）①可設(shè)平移后的拋物線解析式為y=x²-4x-m，可求得其頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線y=-x-7，可求得m的值，則可求得拋物線C′的解析式；②連接FD，由條件可證明△EPM≌△PDF，可求得PM=DF，EM=PF，設(shè)出F點(diǎn)坐標(biāo)，則可分別表示出PM和DF的長(zhǎng)，由條件可得到關(guān)于點(diǎn)F坐標(biāo)的方程，可求得M、F的坐標(biāo)，則可出E點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：
（1）∵y=x²-4x=（x-2）²-4，
∴拋物線開口向上，對(duì)稱軸為x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-4）；
（2）①設(shè)拋物線C′的解析式為y=（x-2）²-4-m，
則拋物線C′的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-4-m），
∵拋物線C′的頂點(diǎn)落在直線y=-x-7上，
∴-4-m=-2-7，解得m=5；
②如圖，連接FD，

由①可得拋物線C′的解析式為y=x²-4x-5，
令y=0可得x²-4x-5=0，解得x=-1或x=5，
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，
∴A（-1，0），B（5，0），
∵點(diǎn)F關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱點(diǎn)為D，且MF⊥x軸，
∴DF⊥MF，
∴∠EMP=∠PFD=90°，
∵PE⊥PD，
∴∠EPD+∠MPE=∠EPD+∠D=90°，
∴∠MPE=∠D，
在△EPM和△PDF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠MPE=∠D}\\{∠EMP=∠PFD}\\{PE=PD}\end{array}\right.$
∴△EPM≌△PDF（AAS），
∴PM=DF，EM=PF，
設(shè)點(diǎn)F坐標(biāo)為（t，t²-4t-5），
∵點(diǎn)M在線段AN上，
∴-1＜t＜2，
∴DF=2（2-t），PM=-$\frac{1}{4}$（t²-4t-5），
∵PM=DF，
∴2（2-t）=-$\frac{1}{4}$（t²-4t-5），解得t=1或t=11（不合題意，舍去），
∴M（1，0），F(xiàn)（1，-8），
∴MF=8，MP=2，
∴PF=8-2=6，
∴EM=PF=6，
∴OE=OM+ME=7，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（7，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象的平移、全等三角形的判定和性質(zhì)及方程思想等知識(shí)．在（1）中把拋物線解析式化為頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵，在（2）①中求得平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）②中構(gòu)造全等三角形，用F點(diǎn)的坐標(biāo)表示出PM和DF的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．