14.如圖,等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P,作PE⊥AC于E,Q為BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),當(dāng)PA=CQ時(shí),連接PQ交AC于點(diǎn)D,則:①PD=DQ;②∠Q=30°;③DE=$\frac{1}{2}$AC;④AE=$\frac{1}{2}$CQ.其中正確的結(jié)論是①③④.(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都寫在橫線上).

分析 ①作輔助線,證明△PFD≌△QCD,可以得:PD=DQ;
②由全等可知:∠DPF=∠Q,由QP與AB不垂直,可以得∠Q不一定為30°;
③根據(jù)等腰三角線三線合一得:EF=$\frac{1}{2}$AF,由全等得:DF=$\frac{1}{2}$FC,兩式相加可得結(jié)論;
④根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊是斜邊一半可得結(jié)論.

解答 解:①過(guò)P作PF∥BQ,交AC于F,
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠ACB=∠A=60°,
∵PF∥BQ,
∴∠AFP=∠ACB=60°,∠PFD=∠QCD,
∴△AFP是等邊三角形,
∴PF=PA,
∵PA=CQ,
∴PF=CQ,
在△PFD和△QCD中,
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ADP=∠CDQ}\\{∠PFD=∠QCD}\\{PF=CQ}\end{array}\right.$,
∴△PFD≌△QCD(AAS),
∴PD=DQ;
所以①結(jié)論正確;
②由①得:△PFD≌△QCD,
∴∠DPF=∠Q,
∵△APF等邊三角形,
∴∠APF=60°,
∵QP與AB不一定垂直,
∴∠Q不一定為30°,
所以②結(jié)論不正確;
③∵△APF是等邊三角形,PE⊥AC,
∴EF=$\frac{1}{2}$AF,
∵△PFD≌△QCD,
∴DF=DC,
∴DF=$\frac{1}{2}$FC,
∴DE=EF+DF=$\frac{1}{2}$AF+$\frac{1}{2}$FC=$\frac{1}{2}$AC,
所以③結(jié)論正確;
④在Rt△AEP中,∠A=60°,
∴∠APE=30°,
∴AE=$\frac{1}{2}$AP,
∴AE=$\frac{1}{2}$CQ,
所以④結(jié)論正確;
所以本題結(jié)論正確的有:①③④;
故答案為:①③④.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定、三角形全等的性質(zhì)和判定、直角三角形30°角的性質(zhì),作輔助線構(gòu)建全等三角形是本題的關(guān)鍵.

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∴∠1=∠3等量代換
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