Question

8．如圖，在正方形ABCD中，AB=4，E是BC邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD邊上的一點(diǎn)，且DF=1，若M、N分別是線段AD、AE上的動(dòng)點(diǎn)，則MN+MF的最小值為$\frac{9\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 作點(diǎn)F關(guān)于AD的對稱點(diǎn)G，過G作GN⊥AE與N，交AD于M，則GN的長度等于MN+MF的最小值，根據(jù)對稱的性質(zhì)得到∠DMF=∠GMD，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠FMD=∠BAE=∠AMN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：作點(diǎn)F關(guān)于AD的對稱點(diǎn)G，過G作GN⊥AE與N，交AD于M，
則GN的長度等于MN+MF的最小值，
∵△DGM≌△DGF，
∴∠DMF=∠GMD，
∵∠GMD=∠AMN，
∵∠AMN+∠MAN=∠MAN+∠BAE=90°，
∴∠FMD=∠BAE=∠AMN，
∴△ABE∽△DMF∽△AMN，
∴$\frac{AB}{BE}=\frac{DM}{DF}$，
∵AB=4，
∴BE=2，
∵DF=1，
∴DM=2，
∴AM=2，
∵$\frac{AN}{MN}=\frac{BE}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴MN=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵GM=$\sqrt{D{G}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴GN=GM+MN=MN+MF=$\frac{9\sqrt{5}}{5}$．
∴MN+MF的最小值為$\frac{9\sqrt{5}}{5}$，
故答案為：$\frac{9\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了軸對稱-最短距離問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的確定M，N的位置是解題的關(guān)鍵．