Question

20．如圖，二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，OB=1，OC=3．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，點(diǎn)P為拋物線上的一點(diǎn)，且在直線AC上方，當(dāng)△ACP的面積是$\frac{27}{8}$時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）是否存在拋物線上的點(diǎn)P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式，列出關(guān)于系數(shù)b、c的方程組，通過(guò)解方程組求得它們的值；
（2）過(guò)點(diǎn)P作直線l，l∥y軸，交直線AC于點(diǎn)D，由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)得到直線AC的方程，由三角形的面積公式和函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征來(lái)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）由（1）中所求解析式可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-m²-2m+3）．當(dāng)△ACP是以AC為直角邊的直角三角形時(shí)，可分兩種情況進(jìn)行討論：①以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)；②以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)；利用勾股定理分別列出關(guān)于m的方程，解方程即可．

解答 解：（1）如圖1，∵OB=1，OC=3，
∴B（1，0），C（0，3），
將其代入y=-x²+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
故該拋物線的解析式為：y=-x²-2x+3；

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作直線l，l∥y軸，交直線AC于點(diǎn)D，
由（1）知，拋物線解析式為y=-x²-2x+3=-（x+3）（x-1），則A（3，0）．
由A（3，0），C（0，3）易得直線AC的解析式為：y=x+3．
設(shè)P（x，-x²-2x+3）．
則D（x，x+3）．
∴PD=-x²-3x．
∵△ACP的面積是$\frac{27}{8}$，
∴$\frac{1}{2}$PD•OA=$\frac{27}{8}$，即$\frac{1}{2}$（-x²-3x）×3=$\frac{27}{8}$，
解得x=-$\frac{3}{2}$，
∴P（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）；

（3）存在．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-m²-2m+3）．
∵A（-3，0），C（0，3），
∴AC²=3²+3²=18，AP²=（m+3）²+（-m²-2m+3）²，CP²=m²+（-m²-2m）²．
當(dāng)△ACP是以AC為直角邊的直角三角形時(shí)，可分兩種情況：
①如圖1，如果點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，那么AC²+CP²=AP²，
即18+m²+（-m²-2m）²=（m+3）²+（-m²-2m+3）²，
整理得m²+m=0，
解得m₁=-1，m₂=0（不合題意舍去），
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，4）；

②如圖2，如果點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，那么AC²+AP²=CP²，
即18+（m+3）²+（-m²-2m+3）²=m²+（-m²-2m）²，
整理得m²+m-6=0，
解得m₁=2，m₂=-2（不合題意舍去），
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-5）；
綜上所述，所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，4）或（2，-5）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，直角三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法等知識(shí)，難度適中．利用分類討論與方程思想是解題的關(guān)鍵．