Question

5．數(shù)的概念擴充到實數(shù)集后，人們發(fā)現(xiàn)在實數(shù)范圍內(nèi)很多問題還不能解決，如從解方程的角度看，如x²=-1這類方程在實數(shù)范圍內(nèi)無解．為了解決這個問題，需要把數(shù)的范圍作進一步的擴充．為此，為探索新問題的需要，定義一種新數(shù)：如果一個數(shù)的平方等于-1，就記為i²=-1，這個數(shù)i叫做虛數(shù)單位．那么形如“a+bi”（a、b為實數(shù)）的數(shù)就叫作復數(shù)，a叫這個復數(shù)的實部，b叫做這個復數(shù)的虛部．復數(shù)的加、減、乘法運算與整式的加、減、乘法運算類似．
例如計算：（2+i）+（3-4i）=5-3i，（3+i）（1+2i）=1+7i，（3i）²=-9等．
根據(jù)信息，解決下列問題：
（1）填空：i⁴=1，（2+i）²=3+4i
（2）若兩個復數(shù)相等，則它們的實部和虛部必須分別相等，據(jù)此，完成下列問題：
已知：（x+y）+3i=（1-x）-yi（x、y為實數(shù)），求x、y的值；
（3）試一試：請利用相關知識，將$\frac{1+i}{1-i}$化簡成a+bi的形式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)i²=-1，i⁴=i²•i²，然后計算；根據(jù)平方差公式和完全平方公式計算，出現(xiàn)i²，化簡為-1計算；
（2）把原式化簡后，根據(jù)實部對應實部，虛部對應虛部列出方程，求得x，y的值；
（3）分子分母同乘以（1+i）后，把分母化為不含i的數(shù)后計算．

解答 解：（1）∵i²=-1，
i⁴=i²•i²=-1•（-1）=1，
（2+i）²=i²+4i+4=-1+4i+4=3+4i；

（2）∵（x+y）+3i=（1-x）-yi，
∴x+y=1-x，3=-y，
∴x=2，y=-3；

（3）$\frac{1+i}{1-i}$=$\frac{（1+i）（1+i）}{（1-i）（1+i）}$=$\frac{（1+i）^{2}}{2}$=$\frac{2i}{2}$=i．

點評 本題考查了平方差公式，完全平方公式，是信息給予題，解題步驟為：（1）閱讀理解，發(fā)現(xiàn)信息；（2）提煉信息，發(fā)現(xiàn)規(guī)律；（3）運用規(guī)律，聯(lián)想遷移；（4）類比推理，解答問題．