Question

14．閱讀理解題：
定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于-1，記為i²=-1，這個(gè)數(shù)i叫做虛數(shù)單位．那么和我們所學(xué)的實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來就叫做復(fù)數(shù)，表示為a+bi（a，b為實(shí)數(shù)），a叫這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部，它的加，減，乘法運(yùn)算與整式的加，減，乘法運(yùn)算類似．例如計(jì)算：（5+i）×（3-4i）=19-17i．
（1）填空：i³=-i，i⁴=1．
（2）計(jì)算：（4+i）²．
（3）試一試：請(qǐng)利用以前學(xué)習(xí)的有關(guān)知識(shí)將$\frac{2+i}{2-i}$化簡成a+bi的形式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)i²=-1利用同底數(shù)冪的乘法即可求出i³、i⁴的值；
（2）根據(jù)完全平方公式將（4+i）²展開，再根據(jù)i²=-1即可得出結(jié)論；
（3）分子和分母同時(shí)乘（2+i）將分母變?yōu)閷?shí)數(shù)，再根據(jù)整式的混合運(yùn)算結(jié)合i²=-1即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵i²=-1，
∴i³=-i，i⁴=（-1）²=1．
故答案為：-i；1．
（2）（4+i）²，
=16+8i+i²，
=15+8i．
（3）$\frac{2+i}{2-i}$=$\frac{（2+i）^{2}}{（2-i）（2+i）}$，
=$\frac{4+4i+{i}^{2}}{4-{i}^{2}}$，
=$\frac{3+4i}{5}$，
=$\frac{3}{5}$+$\frac{4}{5}$i．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了同底數(shù)冪的乘法、完全平方公式、平方差公式以及整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是：（1）熟練掌握同底數(shù)冪的乘法；（2）牢記完全平方公式；（3）利用平方差公式將分母轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)．