3.如圖,延長平行四邊形ABCD的邊DC到點E,使CE=DC,連接AE,交BC于點F,連接AC、BE.
(1)求證:BF=CF;
(2)若AB=2,AD=4,且∠AFC=2∠D,求平行四邊形ABCD的面積.

分析 (1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD,AB=CD,然后根據(jù)CE=DC,得到AB=EC,AB∥EC,利用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”判斷即可;
(2)由(1)得的結(jié)論先證得四邊形ABEC是平行四邊形,通過角的關(guān)系得出FA=FE=FB=FC,AE=BC,得出四邊形ABEC是矩形,得出∠BAC=90°,由勾股定理求出AC,即可得出平行四邊形ABCD的面積.

解答 (1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB∥CD,AB=CD,BC=AD,
∵CE=DC,
∴AB=EC,AB∥EC,
∴四邊形ABEC是平行四邊形,
∴BF=CF;
(2)解:∵由(1)知,四邊形ABEC是平行四邊形,
∴FA=FE,F(xiàn)B=FC.
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴∠ABC=∠D.
又∵∠AFC=2∠D,
∴∠AFC=2∠ABC.
∵∠AFC=∠ABC+∠BAF,
∴∠ABC=∠BAF,
∴FA=FB,
∴FA=FE=FB=FC,
∴AE=BC,
∴四邊形ABEC是矩形,
∴∠BAC=90°,
∵BC=AD=4,
∴AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$,
∴平行四邊形ABCD的面積=AB•AC=2×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$.

點評 此題考查的知識點是平行四邊形的判定與性質(zhì)及矩形的判定,關(guān)鍵是先由平行四邊形的性質(zhì)證三角形全等,然后推出平行四邊形通過角的關(guān)系證矩形.

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(1)填空:i3=-i,i4=1.
(2)計算:(4+i)2
(3)試一試:請利用以前學(xué)習(xí)的有關(guān)知識將$\frac{2+i}{2-i}$化簡成a+bi的形式.

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