Question

2．在平面直角坐標(biāo)中，A（-2，0），B（0，2），C（2，0）．
（1）如圖①，BD∥AC，且AD=AC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如圖②，將線段OC繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至OE，當(dāng)點(diǎn)E在第四象限時，請?zhí)骄浚壕�段AE，BE，CE之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）如圖③，將線OC繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至OE，當(dāng)E在第一象限時，..直接寫出線段AE，BE，CE之間的數(shù)量關(guān)系為AE-CE=$\sqrt{2}$BE．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間的距離公式得出AD，AC，最后用AD=AC建立方程求解即可；
（2）先判斷出△ABC是等腰直角三角形，再判斷出∠AEC=90°=∠ABC，進(jìn)而得出點(diǎn)A，B，C，E四點(diǎn)共圓，即可得出∠BCF=∠BAE，即可判斷出△ABE≌△CBF，得出AE=CF，再用勾股定理得出EF=$\sqrt{2}$BE，最后代換即可得出結(jié)論；
（3）同（2）的方法即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵A（-2，0），C（2，0）．
∴AC=4，
∵BD∥AC，B（0，2），
∴設(shè)D（m，2），
∵A（-2，0），
∴AD=$\sqrt{（m+2）^{2}+4}$，
∵AD=AC，
∴$\sqrt{（m+2）^{2}+4}$=4，
∴m=-2±2$\sqrt{3}$，
∴D（-2-2$\sqrt{3}$，2）或D（-2+2$\sqrt{3}$，2）；
（2）AE+CE=$\sqrt{2}$BE；
理由：如圖1，連接BC，過點(diǎn)B作BF⊥BE交EC延長線于F，
∵A（-2，0），B（0，2），C（2，0），
∴OA=OB=OC=2，
∵OB⊥AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵線段OC繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至OE，
∴OE=OA=OC
∴△ACE是直角三角形，
∴∠AEC=90°=∠ABC，
∴點(diǎn)A，B，C，E四點(diǎn)共圓，
∴∠BCF=∠BAE，
∵∠ABC=∠EBF=90°，
∴∠ABE=∠CBF，
在△ABE和△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CBF}\\{AB=BC}\\{∠BAE=∠BCF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBF，
∴AE=CF，
在R△EBF中，∠BEF=∠BAC=45°，
∴EF=$\sqrt{2}$BE，
∵EF=CE+CF=CE+AE，
∴AE+CE=$\sqrt{2}$BE；
（3）AE-CE=$\sqrt{2}$BE，
理由：如圖2，連接BC，過點(diǎn)B作BF⊥BE交AE于F，
同（2）的方法，得△BCE≌△BAF，
∴CE=AF，
在R△EBF中，∠BEF=∠BAC=45°，
∴EF=$\sqrt{2}$BE，
∵EF=AE-AF=AE-CE，
∴AE-CE=$\sqrt{2}$BE，
故答案為：AE-CE=$\sqrt{2}$BE．

點(diǎn)評 此題是三角形綜合題，主要考查了平面坐標(biāo)系內(nèi)，兩點(diǎn)間的距離公式，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，全等三角形的判斷和性質(zhì)，勾股定理；解（1）的關(guān)鍵是用AD=AC，建立方程$\sqrt{（m+2）^{2}+4}$=4，解（2）（3）關(guān)鍵是△ABE≌△CBF，是一道中等難度的中考�？碱}．