1.如圖所示,在等腰Rt△ABC中,∠CAB=90°,P是△ABC內(nèi)一點(diǎn),將△PAB繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△DAC.
(1)試判斷△PAD的形狀并說明理由;
(2)連接PC,若∠APB=135°,PA=1,PB=3,求PC的長.

分析 (1)結(jié)論:△PAD是等腰直角三角形.只要證明△BAP≌△CAD,即可解決問題.
(2))由△BAP≌△CAD,推出PB=CD=3,∠APB=∠ADC=135°,由△PAD是等腰直角三角形,推出∠ADP=45°,∠PDC=135°-∠ADP=90°,由AP=AD=1,推出PD2=AP2+AD2=2,在Rt△PDC中,根據(jù)PC=$\sqrt{C{D}^{2}+P{D}^{2}}$計(jì)算即可.

解答 解:(1)結(jié)論:△PAD是等腰直角三角形.
理由:∵∠CAB=∠PAD=90°,
∴∠BAP=∠CAD,
在△BAP和△CAD中,
$\left\{\begin{array}{l}{BA=CA}\\{∠BAP=∠CAD}\\{AP=AD}\end{array}\right.$,
∴△BAP≌△CAD,
∴PA=AD,
∵∠PAD=90°,
∴△PAD是等腰直角三角形.

(2)∵△BAP≌△CAD,
∴PB=CD=3,∠APB=∠ADC=135°,
∵△PAD是等腰直角三角形,
∴∠ADP=45°,∠PDC=135°-∠ADP=90°,
∵AP=AD=1,
∴PD2=AP2+AD2=2,
在Rt△PDC中,PC=$\sqrt{C{D}^{2}+P{D}^{2}}$=$\sqrt{9+2}$=$\sqrt{11}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形,證明∠CDP=90°是本題的突破點(diǎn),屬于中考?碱}型.

練習(xí)冊系列答案
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