Question

7．二次函數(shù)C₁：y=x²+bx+c的圖象過點(diǎn)A（-1，2），B（4，7）．
（1）求二次函數(shù)C₁的解析式；
（2）若二次函數(shù)C₂與C₁的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，試判斷二次函數(shù)C₂的頂點(diǎn)是否在直線AB上；
（3）若將C₁的圖象位于A，B兩點(diǎn)間的部分（含A，B兩點(diǎn)）記為G，則當(dāng)二次函數(shù)y=-x²+2x+1+m與G有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直接寫出m滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法可求二次函數(shù)C₁的解析式；
（2）先根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)得到二次函數(shù)C₂的解析式，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得到C₂的頂點(diǎn)，根據(jù)待定系數(shù)法可求過A、B兩點(diǎn)的直線解析式，依此代入即可求解；
（3）分別求出點(diǎn)（-1，2），點(diǎn)（4，7）代入二次函數(shù)y=-x²+2x+1+m，求得m的值，進(jìn)一步得到m滿足的條件．

解答 解：（1）∵${C_1}：y={x^2}+bx+c$的圖象過點(diǎn)A（-1，2），B（4，7），
∴$\left\{\begin{array}{l}2=1-b+c\\ 7=16+4b+c.\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}b=-2\\ c=-1.\end{array}\right.$．
∴y=x²-2x-1．
（2）∵二次函數(shù)C₂與C₁的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴${C_2}：y=-{x^2}+2x+1$，
∴C₂的頂點(diǎn)為（1，2）．
∵A（-1，2），B（4，7），
設(shè)過A、B兩點(diǎn)的直線的解析式：y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=2}\\{4k+b=7}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴過A、B兩點(diǎn)的直線解析式：y=x+3．
令x=1，則y=4．
∴C₂的頂點(diǎn)不在直線AB上．
（3）點(diǎn)（-1，2）代入二次函數(shù)y=-x²+2x+1+m，得-1-2+1+m=2，解得m=4；
點(diǎn)（4，7）代入二次函數(shù)y=-x²+2x+1+m，得-16+8+1+m=7，解得m=14；
則m滿足的條件為4＜m≤14或m=-4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線和x軸的交點(diǎn)問題，二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，二次函數(shù)y=ax²+bx+c頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{2a}$，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$）．