12.如圖,已知雙曲線C1:y=$\frac{1}{x}$、拋物線C2:y=x2-12,直線l:y=kx+m.
(Ⅰ)若直線l與拋物線C2有公共點(diǎn),求$\frac{k^2}{4}$+m的最小值;
(Ⅱ)設(shè)直線l與雙曲線C1的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B,與拋物線C2的兩個(gè)交點(diǎn)為C、D.是否存在直線l,使得A、B為線段CD的三等分點(diǎn)?若存在,求出直線l的解析式,若不存在,請(qǐng)說明理由.

分析 (Ⅰ)根據(jù)直線l與拋物線C2有公共點(diǎn),可得x2-kx-m-12=0,根據(jù)根的判別式即可得到$\frac{k^2}{4}$+m的最小值;
(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4),顯然k≠0聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ y=\frac{1}{x}\end{array}\right.$,得kx2+mx-1=0;聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ y={x^2}-12\end{array}\right.$,得x2-kx-m-12=0;根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,A、B為線段CD的三等分點(diǎn),得到${k^2}+4m+48=9•\frac{{{m^2}+4k}}{k^2}$,解方程得到k的值,進(jìn)一步得到m的值,從而得到直線l的解析式.

解答 解:(Ⅰ)∵直線l與拋物線C2有公共點(diǎn),
∴聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ y={x^2}-12\end{array}\right.$,得x2-kx-m-12=0,
∴△=k2+4m+48≥0,
∴$\frac{k^2}{4}+m≥-12$,
∴$\frac{k^2}{4}+m$的最小值為-12;
(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4),顯然k≠0,
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ y=\frac{1}{x}\end{array}\right.$,得kx2+mx-1=0,
則${x_1}+{x_2}=-\frac{m}{k},{x_1}{x_2}=-\frac{1}{k}$,
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ y={x^2}-12\end{array}\right.$,得x2-kx-m-12=0,
則x3+x4=k,x3x4=-m-12,
若A、B為線段CD的三等分點(diǎn),則線段AB與CD的中點(diǎn)重合,且|CD|=3|AB|,
則$-\frac{m}{k}=k$,即m=-k2,
且|x3-x4|=3|x1-x2|,即${k^2}+4m+48=9•\frac{{{m^2}+4k}}{k^2}$,
將m=-k2代入上式并化簡(jiǎn)得k3-4k+3=0,
解得k=1或$\frac{{-1±\sqrt{13}}}{2}$,對(duì)應(yīng)的m=-1或$\frac{{-7±\sqrt{13}}}{2}$,經(jīng)檢驗(yàn)均符合題意.
故直線l的解析式為y=x-1或$y=\frac{{-1+\sqrt{13}}}{2}x+\frac{{-7+\sqrt{13}}}{2}$或$y=\frac{{-1-\sqrt{13}}}{2}x+\frac{{-7-\sqrt{13}}}{2}$.

點(diǎn)評(píng) 考查了二次函數(shù)綜合題,解題的關(guān)鍵是熟練掌握根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系,三等分點(diǎn)的定義等知識(shí)點(diǎn),同時(shí)注意方程思想的運(yùn)用,綜合性較強(qiáng),難度中等.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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解(1)得:x>5,解(2)得:x<0,所以x2-5x>0的解集是x>5或x<0
問題解決:請(qǐng)利用以上信息中獲得的方法求不等式x2-3x<0的解集.

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17.如圖,已知△ABC和△DCE均是等邊三角形,點(diǎn)B,C,E在同條直線上,AE與BD交于點(diǎn)O,AE與CD相交于點(diǎn)G,AC與BD交于點(diǎn)F,連結(jié)0C,F(xiàn)G,則下列結(jié)論:①AE=BD;②AG=BF;③FG∥BE;④∠BOA=60°,其中正確的有( 。
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