Question

1．如圖，直線y=-x+3分別交x軸于點(diǎn)B、交y軸于點(diǎn)C，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c與x軸的另一交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為P，且對(duì)稱軸是直線x=2．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（3）求△ABC外接圓的半徑及外心的坐標(biāo)；
（4）連結(jié)AC，請(qǐng)問在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△ACQ的周長(zhǎng)最小？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線y=-x+3分別交x軸于點(diǎn)B、交y軸于點(diǎn)C，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c與x軸的另一交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為P，且對(duì)稱軸是直線x=2，可以求得點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而可以求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)第（1）問中求得的點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)可以求得該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（3）根據(jù)三角形的外接圓的圓心到圓上各點(diǎn)的距離都相等，都等于半徑，由點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，設(shè)外接圓圓心的坐標(biāo)為（2，m）可以求得點(diǎn)m的值和外接圓的半徑；
（4）先說明存在，然后根據(jù)題目中的條件可以求得相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵直線y=-x+3與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為B、C，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=3，當(dāng)y=0時(shí)，x=3，
∴點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，3），
∵拋物線y=ax²+bx+c與x軸的交點(diǎn)為A、B，且對(duì)稱軸是直線x=2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）；
（2）∵點(diǎn)A、B是拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
∴設(shè)該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=a（x-1）（x-3），
又∵點(diǎn)C（0，3）在拋物線上，
∴3=a（0-1）•（0-3），
解得，a=1，
∴y=（x-1）•（x-3）=x²-4x+3，
即該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=x²-4x+3；
（3）設(shè)△ABC的外心坐標(biāo)為（2，m），
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），
∴$\sqrt{（m-0）^{2}+（2-3）^{2}}=\sqrt{（m-3）^{2}+（2-0）^{2}}$，
解得：m=2，
∴$\sqrt{（m-3）^{2}+（2-0）^{2}}=\sqrt{（2-3）^{2}+（2-0）^{2}}=\sqrt{5}$，
即△ABC的外接圓的半徑為$\sqrt{5}$，外心坐標(biāo)為（2，2）；
（4）存在點(diǎn)Q，使得△ACQ的周長(zhǎng)最�。�
如下圖所示，

∵點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線x=2對(duì)稱，
∴QC+QA的最小值是QB+QC的最小值，
∵兩點(diǎn)之間線段最短，
∴點(diǎn)Q是直線BC與直線x=2的交點(diǎn)，
設(shè)過點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（0，3）的直線的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$
解得，k=-1，b=3，
∴y=-x+3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{x=2}\end{array}\right.$
解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（2，1），
即當(dāng)Q為（2，1）時(shí)，△ACQ的周長(zhǎng)最�。�

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱、三角形的外接圓和外心、三角形周長(zhǎng)的最小值，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．