如圖，四邊形ABCO是矩形，點(diǎn)A（3，0），B（3，4），動(dòng)點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)O、B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)N作NP∥OC，交AC于點(diǎn)P，連接MP，已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒，△MPA的面積為S．
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（用含x的代數(shù)式表示）
（2）寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．
（3）當(dāng)△APM與△ACO相似時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（4）△PMA能否成為等腰三角形？如能，直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；如不能，說明理由．
（1）設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，
過點(diǎn)A（3，0）、C（0，4），解得：
y=-
4
3
x+4，
N點(diǎn)坐標(biāo)為（3-x，4），所以P點(diǎn)橫坐標(biāo)為：3-x，
代入直線解析式得縱坐標(biāo)為
4
3
x，
所以P點(diǎn)坐標(biāo)為：（3-x，
4
3
x）；

（2）AM邊上的高為P點(diǎn)縱坐標(biāo)，
所以有：h=
4
3
x，
M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），
AM=3-x，
所以有：S=
1
2
AM•h，
解得：S=-
2
3
x2+2x=-
2
3
(x-
3
2
)2+
3
2
，
解得S的最大值為
3
2
，

（3）由題目可知AO=3，AC=5，AM=3-x，AP=
5
3
x，
∵
AP
AM
=
AO
AC

∴
5
3
x
3-x
=
3
5
，解得：
x=
27
34
，即P點(diǎn)坐標(biāo)為（
75
34
，
18
17
），
同理可得當(dāng)
AM
AP
=
AO
AC
時(shí)，
P點(diǎn)坐標(biāo)為（
3
2
，2）；
故有P點(diǎn)坐標(biāo)為：P1（
75
34
，
18
17
）、P2（
3
2
，2）；

（4）△PMA能成為等腰三角形，
有三種情況：①AM=AP時(shí)，[3-（3-x）]2+(0-
4
3
x)2=（3-x）2，
解得：x1=
9
8
，x2=-
9
2
（舍去），
∴3-x=
15
8
，
4
3
x=
3
2
，
∴P的坐標(biāo)是（
15
8
，
3
2
），
②AP=PM時(shí)，[3-（3-x）]2+(0-
4
3
x)2=[（3-x）-x]2+(
4
3
x-0)2，
解得：x1=1，x2=3（舍去），
∴3-x=2，
4
3
x=
4
3
，
∴P的坐標(biāo)是（2，
2
3
），
③MP=MA時(shí)，[（3-x）-x]2+(
4
3
x-0)2=（3-x）2，
解得：x1=0（舍去），x2=
54
43
，
∴3-x=
75
43
，
4
3
x=
72
43
，
∴P的坐標(biāo)是（
75
43
，
72
43
），
即P點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
P1（2，
4
3
）、P2（
15
8
，
3
2
）、P3（
75
43
，
72
43
）．
答：△PMA能成為等腰三角形，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
P1（2，
4
3
）、P2（
15
8
，
3
2
）、P3（
75
43
，
72
43
）．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形OMN的斜邊ON在x軸上，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，3），MH為斜邊上的高．拋物線C：y=-
1
4
x2+nx與直線y=
1
2
x及過N點(diǎn)垂直于x軸的直線交于點(diǎn)D．點(diǎn)P（m，0）是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交射線OM于點(diǎn)E．設(shè)以M、E、H、N為頂點(diǎn)的四邊形的面積為S．
（1）直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)及n的值；
（2）判斷拋物線C的頂點(diǎn)是否在直線OM上？并說明理由；
（3）當(dāng)m≠3時(shí)，求S與m的函數(shù)關(guān)系式；
（4）如圖2，設(shè)直線PE交射線OD于R，交拋物線C于點(diǎn)Q，以RQ為一邊，在RQ的右側(cè)作矩形RQFG，其中RG=
3
2
，直接寫出矩形RQFG與等腰直角三角形OMN重疊部分為軸對(duì)稱圖形時(shí)m的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2
3
，0），⊙P剛好與x軸相切于點(diǎn)A，⊙P交y的正半軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C，且BC=4．
（1）求半徑PA的長(zhǎng)；
（2）求證：四邊形CAPB為菱形；
（3）有一開口向下的拋物線過O，A兩點(diǎn)，當(dāng)它的頂點(diǎn)不在直線AB的上方時(shí)，求函數(shù)表達(dá)式的二次項(xiàng)系數(shù)a的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于點(diǎn)C，A（1，1）、B（3，1）．動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng)．過P點(diǎn)作PQ垂直于直線OA，垂足為Q．設(shè)P點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為t秒（0＜t＜4），△OPQ與直角梯形OABC重疊部分的面積為S．
（1）求經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的拋物線解析式；
（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使得以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（4）將△OPQ繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，是否存在t，使得△OPQ的頂點(diǎn)O或Q在拋物線上？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線y=-x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（m，0）、B（0，n），其中m、n是方程x2-6x+5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且m＜n．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)（1）中的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，拋物線的頂點(diǎn)為D，求C、D點(diǎn)的坐標(biāo)和△BCD的面積；
（3）P是線段OC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)H，若直線BC把△PCH分成面積相等的兩部分，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知二次函數(shù)y=
1
2
x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-3，6），并且與x軸交于點(diǎn)B（-1，0）和點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)解析式；
（2）設(shè)D為線段OC上的點(diǎn)，滿足∠DPC=∠BAC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

拋物線y1=ax2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x=1，且A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-1，0）、C（0，-3）．
（1）求拋物線y1=ax2+bx+c和直線BC：y2=mx+n的解析式；
（2）當(dāng)y1•y2≥0時(shí)，直接寫出x的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，有一座拋物線形的拱橋，橋下面處在目前的水位時(shí)，水面寬AB=10m，如果水位上升2m，就將達(dá)到警戒線CD，這時(shí)水面的寬為8m．若洪水到來，水位以每小時(shí)0.1m速度上升，經(jīng)過多少小時(shí)會(huì)達(dá)到拱頂？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，?ABCO的頂點(diǎn)O在原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)C在第一象限．
（1）直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）將?ABCO繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使OC落在y軸的正半軸上，如圖②，得□DEFG（點(diǎn)D與點(diǎn)O重合）．FG與邊AB、x軸分別交于點(diǎn)Q、點(diǎn)P．設(shè)此時(shí)旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)平行四邊形重疊部分的面積為S0，求S0的值；
（3）若將（2）中得到的?DEFG沿x軸正方向平移，在移動(dòng)的過程中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（t，0），?DEFG與?ABCO重疊部分的面積為S．寫出S與t（0＜t≤2）的函數(shù)關(guān)系式．（直接寫出結(jié)果）

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