唐朝詩(shī)人李欣的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō):“白日登山望峰火,黃昏飲馬傍交河.”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題--將軍飲馬問(wèn)題:
如圖1所示,詩(shī)中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā),走到河旁邊的P點(diǎn)飲馬后再到B點(diǎn)宿營(yíng).請(qǐng)問(wèn)怎樣走才能使總的路程最短?
做法如下:如圖1,從B出發(fā)向河岸引垂線,垂足為D,在AD的延長(zhǎng)線上,取B關(guān)于河岸的對(duì)稱點(diǎn)B′,連接AB′,與河岸線相交于P,則P點(diǎn)就是飲馬的地方,將軍只要從A出發(fā),沿直線走到P,飲馬之后,再由P沿直線走到B,所走的路程就是最短的.
(1)觀察發(fā)現(xiàn)
再如圖2,在等腰梯形ABCD中,AB=CD=AD=2,∠D=120°,點(diǎn)E、F是底邊AD與BC的中點(diǎn),連接EF,在線段EF上找一點(diǎn)P,使BP+AP最短.
作點(diǎn)B關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn),恰好與點(diǎn)C重合,連接AC交EF于一點(diǎn),則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P,故BP+AP的最小值為_(kāi)_____.
(2)實(shí)踐運(yùn)用
如圖3,已知⊙O的直徑MN=1,點(diǎn)A在圓上,且∠AMN的度數(shù)為30°,點(diǎn)B是弧AN的中點(diǎn),點(diǎn)P在直徑MN上運(yùn)動(dòng),求BP+AP的最小值.
(3)拓展遷移
如圖4,已知拋物線y=ax
2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸為x=1,且拋物線經(jīng)過(guò)A(-1,0)、C(0,-3)兩點(diǎn),與x軸交于另一點(diǎn)B.
①求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
②在拋物線的對(duì)稱軸直線x=1上找到一點(diǎn)M,使△ACM周長(zhǎng)最小,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)與△ACM周長(zhǎng)最小值.(結(jié)果保留根號(hào))