如圖,在直角坐標(biāo)系中,點A的坐標(biāo)為(-2
3
,0),⊙P剛好與x軸相切于點A,⊙P交y的正半軸于點B,點C,且BC=4.
(1)求半徑PA的長;
(2)求證:四邊形CAPB為菱形;
(3)有一開口向下的拋物線過O,A兩點,當(dāng)它的頂點不在直線AB的上方時,求函數(shù)表達式的二次項系數(shù)a的取值范圍.
(1)作PD⊥BC于D,根據(jù)題意PB=
PD2+BD2
=
(2
3
)
2
+22
=4,
∴半徑PA=PB=4.

(2)證明:∵⊙P剛好與x軸相切于點A
∴PA⊥x軸,
∴PABC,
∵PA=BC=4,
∴四邊形CAPB是平行四邊形.
又∵AP=PB,
∴平行四邊形CAPB為菱形.

(3)∵BD=2,
∴點B的坐標(biāo)為B(0,6),
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b則
b=6
-2
3
k+b=0

解得
k=
3
b=6
,
∴解析式是y=
3
x+6.
當(dāng)x=-
3
時,y=3,
此時設(shè)拋物線為y=ax2+bx+c,
根據(jù)題意
(-2
3
)
2
a+(-2
3
)b+c=0
c=0

解得b=2
3
a,
4ac-b2
4a
=-3a<3,
解得a>-1,
又∵拋物線開口向下,
∴-1<a<0.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點O是原點,矩形OABC的頂點A在x軸的正半軸上,頂點C在y的正半軸上,點B的坐標(biāo)是(5,3),拋物線y=
3
5
x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點,與x軸的另一個交點是點D,連接BD.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點M是拋物線對稱軸上的一點,以M、B、D為頂點的三角形的面積是6,求點M的坐標(biāo);
(3)點P從點D出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿D→B勻速運動,同時點Q從點B出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿B→A→D勻速運動,當(dāng)點P到達點B時,P、Q同時停止運動,設(shè)運動的時間為t秒,當(dāng)t為何值時,以D、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形?請直接寫出所有符合條件的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在直角坐標(biāo)系中,O是原點,A、B、C三點的坐標(biāo)分別為A(18,0),B(18,6),C(8,6),四邊形OABC是梯形,點P、Q同時從原點出發(fā),分別做勻速運動,其中點P沿OA向終點A運動,速度為每秒1個單位,點Q沿OC、CB向終點B運動,當(dāng)這兩點有一點到達自己的終點時,另一點也停止運動.
(1)求出直線OC的解析式及經(jīng)過O、A、C三點的拋物線的解析式.
(2)試在(1)中的拋物線上找一點D,使得以O(shè)、A、D為頂點的三角形與△AOC全等,請直接寫出點D的坐標(biāo).
(3)設(shè)從出發(fā)起,運動了t秒.如果點Q的速度為每秒2個單位,試寫出點Q的坐標(biāo),并寫出此時t的取值范圍.
(4)設(shè)從出發(fā)起,運動了t秒.當(dāng)P、Q兩點運動的路程之和恰好等于梯形OABC的周長的一半,這時,直線PQ能否把梯形的面積也分成相等的兩部分?如有可能,請求出t的值;如不可能,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知:如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸、y軸都只有一個交點,分別為A、B且AB=2,又關(guān)于x的方程x2-(b+2ac)x+m=0(m<0)的兩個實數(shù)根互為相反數(shù).
(1)求ac的值;
(2)求二次函數(shù)的解析式;
(3)過A點的直線與二次函數(shù)圖象相交于另一個點C,與y軸的負半軸相交于點D,且使△ABD和△ABC的面積相等,求此直線的解析式并求△ABC的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知拋物線y=-
3
4
x2+
9
4
x+3與x軸交于A、B兩點(A在B的左側(cè)),與y軸交于點C.
(1)求A、B、C三點的坐標(biāo);
(2)求直線BC的函數(shù)解析式;
(3)點P是直線BC上的動點,若△POB為等腰三角形,請寫出此時點P的坐標(biāo).(可直接寫出結(jié)果)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,四邊形ABCO是矩形,點A(3,0),B(3,4),動點M、N分別從點O、B出發(fā),以每秒1個單位的速度運動,其中點M沿OA向終點A運動,點N沿BC向終點C運動.過點N作NPOC,交AC于點P,連接MP,已知動點運動了x秒,△MPA的面積為S.
(1)求點P的坐標(biāo).(用含x的代數(shù)式表示)
(2)寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值.
(3)當(dāng)△APM與△ACO相似時,求出點P的坐標(biāo).
(4)△PMA能否成為等腰三角形?如能,直接寫出所有點P的坐標(biāo);如不能,說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

唐朝詩人李欣的詩《古從軍行》開頭兩句說:“白日登山望峰火,黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題--將軍飲馬問題:
如圖1所示,詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發(fā),走到河旁邊的P點飲馬后再到B點宿營.請問怎樣走才能使總的路程最短?
做法如下:如圖1,從B出發(fā)向河岸引垂線,垂足為D,在AD的延長線上,取B關(guān)于河岸的對稱點B′,連接AB′,與河岸線相交于P,則P點就是飲馬的地方,將軍只要從A出發(fā),沿直線走到P,飲馬之后,再由P沿直線走到B,所走的路程就是最短的.
(1)觀察發(fā)現(xiàn)
再如圖2,在等腰梯形ABCD中,AB=CD=AD=2,∠D=120°,點E、F是底邊AD與BC的中點,連接EF,在線段EF上找一點P,使BP+AP最短.
作點B關(guān)于EF的對稱點,恰好與點C重合,連接AC交EF于一點,則這點就是所求的點P,故BP+AP的最小值為______.
(2)實踐運用
如圖3,已知⊙O的直徑MN=1,點A在圓上,且∠AMN的度數(shù)為30°,點B是弧AN的中點,點P在直徑MN上運動,求BP+AP的最小值.
(3)拓展遷移
如圖4,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為x=1,且拋物線經(jīng)過A(-1,0)、C(0,-3)兩點,與x軸交于另一點B.
①求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
②在拋物線的對稱軸直線x=1上找到一點M,使△ACM周長最小,請求出此時點M的坐標(biāo)與△ACM周長最小值.(結(jié)果保留根號)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

問題情境
已知矩形的面積為a(a為常數(shù),a>0),當(dāng)該矩形的長為多少時,它的周長最。孔钚≈凳嵌嗌?
數(shù)學(xué)模型
設(shè)該矩形的長為x,周長為y,則y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=2(x+
a
x
)(x>0)

探索研究
(1)我們可以借鑒學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗,先探索函數(shù)y=x+
1
x
(x>0)
的圖象性質(zhì).
1填寫下表,畫出函數(shù)的圖象:
x
1
4
1
3
1
2
1234
y
②觀察圖象,寫出該函數(shù)兩條不同類型的性質(zhì);
③在求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的最大(。┲禃r,除了通過觀察圖象,除了通過觀察圖象,還可以通過配方得到.同樣通過配方也可以求函數(shù)y=x+
1
x
(x>0)的最小值.y=x+
1
x
=(
x
)2+(
1
x
)2
=(
x
)2+(
1
x
)2-2
x
1
x
+2
x
1
x

=(
x
-
1
x
)2+2
≥2
當(dāng)
x
-
1
x
=0,即x=1時,函數(shù)y=x+
1
x
(x>0)的最小值為2.
解決問題
(2)解決“問題情境”中的問題,直接寫出答案.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在矩形ABCD中,點E是AD邊上一點,連接BE,且∠ABE=30°,BE=DE,連接BD.點P從點E出發(fā)沿射線ED運動,過點P作PQBD交直線BE于點Q.
(1)當(dāng)點P在線段ED上時(如圖1),求證:BE=PD+
3
3
PQ;
(2)若BC=6,設(shè)PQ長為x,以P、Q、D三點為頂點所構(gòu)成的三角形面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量x的取值范圍);
(3)在②的條件下,當(dāng)點P運動到線段ED的中點時,連接QC,過點P作PF⊥QC,垂足為F,PF交對角線BD于點G(如圖2),求線段PG的長.

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同步練習(xí)冊答案