18.如圖,矩形ABCD中,點E是CD邊長的一點,△BCE沿BE折疊為△BFE,點F在AD上.
(1)求證:△ABF∽△DFE;
(2)若sin∠DFE=$\frac{1}{3}$,求tan∠FBE的值.

分析 (1)由矩形ABCD中,△BCE沿BE折疊為△BFE,易得∠BFE=∠C=90°,∠ABF=∠DFE,則可證得:△ABF∽△DFE;
(2)由sin∠DFE=$\frac{1}{3}$,可得$\frac{DE}{EF}$=$\frac{1}{3}$,然后設DE=a,則EF=3a,DF=2$\sqrt{2}$a,由△ABF∽△DFE,則可求得FE:BF的值,繼而求得答案.

解答 (1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠A=∠D=∠C=90°,
∴∠AFB+∠ABF=90°,
∵∠BFE=∠C=90°,
∴∠AFB+∠DFE=90°,
∴∠ABF=∠DFE,
∴△ABF∽△DFE;

(2)解:在Rt△DEF中,sin∠DFE=$\frac{DE}{EF}$=$\frac{1}{3}$,
設DE=a,則EF=3a,DF=2$\sqrt{2}$a,
∴CE=EF=3a,AB=CD=DE+CE=4a,
∵△ABF∽△DFE,
∴$\frac{FE}{BF}$=$\frac{DF}{AB}$=$\frac{2\sqrt{2}a}{4a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴tan∠FBE=$\frac{FE}{BF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識.注意掌握折疊前后圖形的對應關系.

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