Question

20．已知關(guān)于x的一元二次方程（a+c）x²-2bx+（a-c）=0，其中a，b，c分別為△ABC三邊長(zhǎng)．
（1）若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）若△ABC是等邊三角形，試求這個(gè)一元二次方程的根．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根得出△=0，即可得出a²=b²+c²，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可；
（2）根據(jù)等邊進(jìn)行得出a=b=c，代入方程化簡(jiǎn)，即可求出方程的解．

解答 解：（1）△ABC是直角三角形，
理由是：∵關(guān)于x的一元二次方程（a+c）x²-2bx+（a-c）=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=0，
即（-2b）²-4（a+c）（a-c）=0，
∴a²=b²+c²，
∴△ABC是直角三角形；

（2）∵△ABC是等邊三角形，
∴a=b=c，
∴方程（a+c）x²-2bx+（a-c）=0可整理為2ax²-2ax=0，
∴x²-x=0，
解得：x₁=0，x₂=1．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了根的判別式，等邊三角形的性質(zhì)，解一元二次方程，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)是一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；等邊三角形的三邊相等等．