8.如圖,將矩形紙片ABCD沿EF折疊(點E、F分別在邊AB、CD上),使點A落在邊BC的中點M處,點D落在點N處,MN與CD相交于點P,連接EP,若AB=2AD=4,則PE=$\frac{289}{120}$.

分析 由翻折的性質(zhì)可知AE=EM,設(shè)BE=x,則ME=4-x,在Rt△EBM中,由勾股定理可求得BE的長,然后再證明△△EBM∽△MCP,由相似三角形的性質(zhì)可求得PC的長,然后取EP的中點Q,從而可知QM是梯形EBCP的中位線,從而可求得QM的長,最后在Rt△EMP中,依據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)求解即可.

解答 解:取EP的中點Q,連接MQ.

由翻折的性質(zhì)可知AE=EM.
設(shè)BE=x,則AE=ME=4-x.
在Rt△EBM中,EM2=BE2+MB2,即(4-x)2=x2+12
解得:x=$\frac{15}{8}$.
∴BE=$\frac{15}{8}$.
由翻折的性質(zhì)可知∠EMP=∠A=90°,
∴∠EMB+∠PMC=90°.
又∵∠BEM+∠EMB=90°,
∴∠PMC=∠BEM.
又∵∠B=∠C,
∴△△EBM∽△MCP.
∴$\frac{EB}{MC}=\frac{MB}{PC}$,即$\frac{\frac{15}{8}}{1}=\frac{1}{PC}$.
解得:PC=$\frac{8}{15}$.
∵QM是梯形EBCP的中位線,
∴EM+PC=2QM.
∵在Rt△EMP中,QM是斜邊EP上的中線,
∴PE=2QM=EM+PC=$\frac{15}{8}+\frac{8}{15}$=$\frac{289}{120}$.
故答案為:$\frac{289}{120}$.

點評 本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、梯形的中位線的性質(zhì)、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)證得PE=EM+PC是解題的關(guān)鍵.

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整數(shù)集合:{-(-2)、20、0、-|-6|}
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