Question

12．如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A在y軸正半軸上，邊AB、OA（AB＞OA）的長分別是方程x²-11x+24=0的兩個根，D是AB上的點，且滿足$\frac{DA}{DB}=\frac{3}{5}$．
（1）矩形OABC的面積是24，周長是22．
（2）求直線OD的解析式；
（3）點P是射線OD上的一個動點，當△PAD是等腰三角形時，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)邊AB、OA（AB＞OA）的長分別是方程x²-11x+24=0的兩個根，即可得到AO=3，AB=8，進而得出矩形OABC的面積以及矩形OABC的周長；
（2）根據(jù)$\frac{DA}{DB}=\frac{3}{5}$，AB=8，可得AD=3，再根據(jù)AO=3，進而得出D（-3，3），再根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線OD的解析式；
（3）根據(jù)△PAD是等腰三角形，分4種情況討論：當AD=AP₁=3時，當DA=DP₂=3時，當AP₃=DP₃時，當DA=DP₄=3時，分別根據(jù)等腰直角三角形的性質，求得點P的坐標．

解答 解：（1）∵x²-11x+24=0，
∴（x-3）（x-8）=0，
∴x₁=3，x₂=8，
∵AB、OA（AB＞OA）的長分別是方程x²-11x+24=0的兩個根，
∴AO=3，AB=8，
∴矩形OABC的面積=3×8=24，矩形OABC的周長=2（3+8）=22，
故答案為：24，22；

（2）∵$\frac{DA}{DB}=\frac{3}{5}$，AB=8，
∴AD=3，
又∵AO=3，
∴D（-3，3），
設直線OD解析式為y=kx，則
3=-3k，即k=-1，
∴直線OD的解析式為y=-x；

（3）∵AD=AO=3，∠DAO=90°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴∠ADO=45°，DO=3$\sqrt{2}$，
根據(jù)△PAD是等腰三角形，分4種情況討論：
①如圖所示，當AD=AP₁=3時，點P1的坐標為（0，0）；
②如圖所示，當DA=DP₂=3時，過P₂作x軸的垂線，垂足為E，則
OP₂=3$\sqrt{2}$-3，△OEP₂是等腰直角三角形，
∴P₂E=OE=$\frac{3\sqrt{2}-3}{\sqrt{2}}$=3-$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，
∴點P₂的坐標為（-3+$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，3-$\frac{3}{2}\sqrt{2}$）；
③如圖所示，當AP₃=DP₃時，∠DAP₃=∠ADO=45°，
∴△ADP₃是等腰直角三角形，
∴DP₃=$\frac{AD}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，
∴P₃O=3$\sqrt{2}$-$\frac{3}{2}\sqrt{2}$=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，
過P₃作x軸的垂線，垂足為F，則△OP₃F是等腰直角三角形，
∴P₃F=OF=$\frac{3}{2}$，
∴點P₃的坐標為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）；
④如圖所示，當DA=DP₄=3時，P₄O=3+3$\sqrt{2}$，
過P₄作x軸的垂線，垂足為G，則△OP₄G是等腰直角三角形，
∴P₄G=OG=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$+3，
∴點P₄的坐標為（-3-$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，3+$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$）；
綜上所述，當△PAD是等腰三角形時，點P的坐標為（0，0）、（-3+$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，3-$\frac{3}{2}\sqrt{2}$）、（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）、（-3-$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，3+$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$）．

點評 本題屬于相似形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質，矩形的性質，等腰三角形的判定，解一元二次方程以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的綜合應用，解題時注意：當△PAD是等腰三角形時，需要分情況討論，解題時注意分類思想的運用．解決問題的關鍵是作輔助線構造等腰直角三角形．