四邊形OABC是等腰梯形,OABC.在建立如圖的平面直角坐標(biāo)系中,A(4,0),B(3,2),點(diǎn)M從O點(diǎn)以每秒2個(gè)單位的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動;同時(shí)點(diǎn)N從B點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動,過點(diǎn)N作NP垂直于x軸于P點(diǎn)連接AC交NP于Q,連接MQ.
(1)寫出C點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若動點(diǎn)N運(yùn)動t秒,求Q點(diǎn)的坐標(biāo);(用含t的式子表示)
(3)其△AMQ的面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量t的取值范圍;
(4)當(dāng)t取何值時(shí),△AMQ的面積最大;
(5)當(dāng)t為何值時(shí),△AMQ為等腰三角形.
(1)C(1,2).

(2)過C作CE⊥x軸于E,則CE=2
當(dāng)動點(diǎn)N運(yùn)動t秒時(shí),NB=t
∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為3-t
設(shè)Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為yQ
由PQCE得
yQ
2
=
1+t
3

∴yQ=
2+2t
3

∴點(diǎn)Q(3-t,
2+2t
3
);

(3)點(diǎn)M以每秒2個(gè)單位運(yùn)動,
∴OM=2t,AM=4-2t,
S△AMQ=
1
2
AM•PQ=
1
2
•(4-2t)•
2+2t
3

=
2
3
(2-t)(t+1)
=-
2
3
(t2-t-2)
當(dāng)t=2時(shí),M運(yùn)動到A點(diǎn),△AMQ不存在,
∴t≠2,
∴t的取值范圍是0≤t<2;

(4)由S△AMQ=-
2
3
(t2-t-2)=-
2
3
(t-
1
2
2+
3
2

當(dāng)t=
1
2
時(shí),Smax=
3
2
;

(5)①若QM=QA
∵QP⊥OA,
∴MP=AP,
而MP=4-(1+t+2t)=3-3t,
即1+t=3-3t,
t=
1
2
,
∴當(dāng)t=
1
2
時(shí),△QMA為等腰三角形;
②若AQ=AM
AQ2=AP2+PQ2=(1+t)2+(
2+2t
3
2=
13
9
(1+t)2AQ=
13
3
,
AM=4-2t
13
3
(1+t)=4-2t,
t=
85-18
13
23
而0<
85-18
13
23
<2,
∴當(dāng)t=
85-18
13
23
時(shí),△QMA為等腰三角形;
③若MQ=MA
MQ2=MP2+PQ2
=(3-3t)2+(
2+2t
3
2=
85
9
t2-
154
9
t+
85
9

85
9
t2-
154
9
t+
85
9

=(4-2t)2
49
9
t2-
10
9
t-
59
9
=0
解得t=
59
49
或t=-1(舍去)
∵0<
59
49
<2,
∴當(dāng)t=
59
49
時(shí),△QMA為等腰三角形;
綜上所述:當(dāng)t=
1
2
,t=
85-18
13
23
或t=
59
49
△QMA都為等腰三角形.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

拋物線y=mx2+(m-3)x-3(m>0)與x軸交于A、B兩點(diǎn),且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè),與y軸交于點(diǎn)C,OB=OC.
(1)求這條拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)P(x1,b)與點(diǎn)Q(x2,b)在(1)中的拋物線上,且x1<x2,PQ=n.
①求4x12-2x2n+6n+3的值;
②將拋物線在PQ下方的部分沿PQ翻折,拋物線的其它部分保持不變,得到一個(gè)新圖象.當(dāng)這個(gè)新圖象與x軸恰好只有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),b的取值范圍是______.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線y=ax2-5x+4a與x軸相交于點(diǎn)A、B,且經(jīng)過點(diǎn)C(5,4).該拋物線頂點(diǎn)為P.
(1)求a的值和該拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo).
(2)求△PAB的面積;
(3)若將該拋物線先向左平移4個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位,求出平移后拋物線的解析式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線經(jīng)過點(diǎn)(-2,0)(1,0)(0,2)
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(x1,0),B(x2,0)(A在B的左邊),且x1+x2=4.
(1)求b的值及c的取值范圍;
(2)如果AB=2,求拋物線的解析式;
(3)設(shè)此拋物線與y軸的交點(diǎn)為C,頂點(diǎn)為D,對稱軸與x軸的交點(diǎn)為E,問是否存在這樣的拋物線,使△AOC≌BED全等,如果存在,求出拋物線的解析式;如果不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為原點(diǎn),直線y=kx+b與x軸交于點(diǎn)A(3,0),與y軸的正半軸交于點(diǎn)B,tan∠OAB=
3

(1)求這直線的解析式;
(2)將△OAB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后,點(diǎn)B落到點(diǎn)C的位置,求以點(diǎn)C為頂點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)A的拋物線的解析式;
(3)設(shè)(2)中的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D,與y軸的交點(diǎn)為E.試判斷△ODE是否與△OAB相似?如果認(rèn)為相似,請加以證明;如果認(rèn)為不相似,也請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在向汶川地震災(zāi)區(qū)執(zhí)行空投任務(wù)中,一架飛機(jī)在空中沿著水平方向向空投地O處上方直線飛行,飛行員在A點(diǎn)測得O處的俯角為30°,繼續(xù)向前飛行1千米到達(dá)B處測得O處的俯角為60°.飛機(jī)繼續(xù)飛行0.1千米到達(dá)E處進(jìn)行空投,已知空投物資在空中下落過程中的軌跡是拋物線,若要使空投物資剛好落在O處.
(1)求飛機(jī)的飛行高度.
(2)以拋物線頂點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,求拋物線的解析式.(所有答案可以用根號表示)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知二次函數(shù)y=x2+bx+c中,函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如下表
x-1012
y10521
(1)求該二次函數(shù)的解析式;
(2)函數(shù)值y隨x的增大而增大時(shí),x的取值范圍是______.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(1)在足球比賽中,當(dāng)守門員遠(yuǎn)離球門時(shí),進(jìn)攻隊(duì)員常常使用“吊射”的戰(zhàn)術(shù)(把球高高地挑過守門員的頭頂,射入球門).一位球員在離對方球門30米的M處起腳吊射,假如球飛行的路線是一條拋物線,在離球門14米時(shí),足球到達(dá)最大高度
32
3
米,如圖1,以球門底部為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,球門PQ的高度為2.44米,試通過計(jì)算說明,球是否會進(jìn)入球門?
(2)在(1)中,若守門員站在距球門2米遠(yuǎn)處,而守門員跳起后最多能摸到2.75米高處,他能否在空中截住這次吊射?
(3)如圖2,在另一次地面進(jìn)攻中,假如守門員站在離球門中央2米遠(yuǎn)的A處防守,進(jìn)攻隊(duì)員在離球門中央12米的B處,以120千米/小時(shí)的球速起腳射門,射向球門的立柱C,球門的寬度CD為7.2米,而守門員防守的最遠(yuǎn)水平距離S(米)與時(shí)間t(秒)之間的函數(shù)關(guān)系式為S=10t,問守門員能否擋住這次射門?
(4)在(3)的條件下,∠EAG區(qū)域?yàn)槭亻T員的截球區(qū)域,試估計(jì)∠EAG的最大值(精確到0.1°).

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同步練習(xí)冊答案