已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（1，0）、B（5，0）、C（0，5）三點．
（1）求拋物線的函數(shù)關系式；
（2）若過點C的直線y=kx+b與拋物線相交于點E（4，m），請求出△CBE的面積S的值；
（3）寫出二次函數(shù)值大于一次函數(shù)值的x的取值范圍；
（4）在拋物線上是否存在點P使得△ABP為等腰三角形？若存在，請指出一共有幾個滿足條件的點P，并求出其中一個點的坐標；若不存在這樣的點P，請說明理由．
（1）∵A（1，0），B（5，0），
設拋物線y=ax2+bx+c=a（x-1）（x-5），
把C（0，5）代入得：5=a（0-1）（0-5），
解得：a=1，
∴y=（x-1）（x-5）=x2-6x+5，
答：拋物線的函數(shù)關系式是y=x2-6x+5．

（2）把x=4代入y=x2-6x+5得：y=-3，
∴E（4，-3），
把C（0，5），E（4，-3）代入y=kx+b得：
5=b
-3=
4k+b，
解得：k=-2，b=5，
∴y=-2x+5，
CE交X軸于D，
當y=0時，0=-2x+5，
∴x=
5
2
，
∴OD=
5
2
，
BD=5-
5
2
=
5
2
，
∴△CBE的面積是：S△CBD+S△EBD=
1
2
×
5
2
×5+
1
2
×
5
2
×|-3|=10，
答：△CBE的面積S的值是10．

（3）由圖象知：當x＜0或x＞4時，二次函數(shù)值大于一次函數(shù)值，
答：二次函數(shù)值大于一次函數(shù)值的x的取值范圍是x＜0或x＞4．

（4）∵拋物線的頂點P（3，-4）既在拋物線的對稱軸上又在拋物線上，
∴點P（3，-4）為所求滿足條件的點．
除P點外，在拋物線上還存在其它的點P使得△ABP為等腰三角形．
理由如下：
∵AP=BP=
22+42
=2
5
＞4，
∴分別以A、B為圓心半徑長為4畫圓，分別與拋物線交于點B、P1、P2、P3、A、P4、P5、P6，除去B、A兩個點外，其余6個點為滿足條件的點．
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相關習題

科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知：直線y=2x+6與x軸和y軸分別交于A、C兩點，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點A、C，點B是拋物線與x軸的另一個交點．
（1）求拋物線的解析式及B的坐標；
（2）設點P是直線AC上一點，且S△ABP：S△BPC=1：3，求點P的坐標；
（3）直線y=
1
2
x+a與（1）中所求的拋物線交于M、N兩點，問：是否存在a的值，使得∠MON=90°？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，拋物線y=ax2-5x+4a與x軸相交于點A、B，且經(jīng)過點C（5，4）．該拋物線頂點為P．
（1）求a的值和該拋物線頂點P的坐標．
（2）求△PAB的面積；
（3）若將該拋物線先向左平移4個單位，再向上平移2個單位，求出平移后拋物線的解析式．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸的兩個交點分別為A（x1，0），B（x2，0）（A在B的左邊），且x1+x2=4．
（1）求b的值及c的取值范圍；
（2）如果AB=2，求拋物線的解析式；
（3）設此拋物線與y軸的交點為C，頂點為D，對稱軸與x軸的交點為E，問是否存在這樣的拋物線，使△AOC≌BED全等，如果存在，求出拋物線的解析式；如果不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在直角坐標系中，點O為原點，直線y=kx+b與x軸交于點A（3，0），與y軸的正半軸交于點B，tan∠OAB=
3
．
（1）求這直線的解析式；
（2）將△OAB繞點A順時針旋轉60°后，點B落到點C的位置，求以點C為頂點且經(jīng)過點A的拋物線的解析式；
（3）設（2）中的拋物線與x軸的另一個交點為點D，與y軸的交點為E．試判斷△ODE是否與△OAB相似？如果認為相似，請加以證明；如果認為不相似，也請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在向汶川地震災區(qū)執(zhí)行空投任務中，一架飛機在空中沿著水平方向向空投地O處上方直線飛行，飛行員在A點測得O處的俯角為30°，繼續(xù)向前飛行1千米到達B處測得O處的俯角為60°．飛機繼續(xù)飛行0.1千米到達E處進行空投，已知空投物資在空中下落過程中的軌跡是拋物線，若要使空投物資剛好落在O處．
（1）求飛機的飛行高度．
（2）以拋物線頂點E為坐標原點建立直角坐標系，求拋物線的解析式．（所有答案可以用根號表示）

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知二次函數(shù)y1=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過三點（1，0），（-3，0），（0，-
3
2
）．
（1）求二次函數(shù)的解析式，并在給定的直角坐標系中作出這個函數(shù)的圖象；
（2）若反比例函數(shù)y2=
2
x
（x＞0）的圖象與二次函數(shù)y1=ax2+bx+c（a≠0）的圖象在第一象限內交于點A（x0，y0），x0落在兩個相鄰的正整數(shù)之間，請你觀察圖象，寫出這兩個相鄰的正整數(shù)；
（3）若反比例函數(shù)y2=
k
x
（x＞0，k＞0）的圖象與二次函數(shù)y1=ax2+bx+c（a≠0）的圖象在第一象限內的交點A，點A的橫坐標x0滿足2＜x0＜3，試求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知直線y=-
1
2
x與拋物線y=-
1
4
x2+6交于A、B兩點，取與線段AB等長的一根橡皮筋，端點分別固定在A、B兩處，用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖P在直線AB上方的拋物線上移動，動點P將與A、B構成無數(shù)個三角形，這些三角形中存在一個面積最大的三角形，最大面積為（　�。�
A．12
6
B．
125
2
C．
125
4
D．
23
4

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

二次函數(shù)y1=ax2-2bx+c和y2=（a+1）•x2-2（b+2）x+c+3在同一坐標系中的圖象如圖所示，若OB=OA，BC=DC，且點B，C的橫坐標分別為1，3，求這兩個函數(shù)的解析式．

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