Question

如圖，直線y=-x-1交兩坐標軸于A、B兩點，⊙M經(jīng)過A、B兩點，交x軸正半軸于點C，延長BM交⊙M于D，反比例函數(shù)y=

k

x

(x＞0）的圖象經(jīng)過點D，若C（2，0），則k=

 

．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：探究型

分析：連AD、BC，過D點作DE⊥x軸于E，先確定A點坐標為（-1，0），B點坐標為（0，-1），根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)得到△OAB為等腰直角三角形，則∠OAB=45°，AB=

2

OA=

2

，利用勾股定理可計算出BC=

5

，根據(jù)圓周角定理得到∠DAB=90°，∠ADB=∠OCB，易證得Rt△ADB∽Rt△OCB，則BD：BC=AB：OB，即BD：

5

=

2

：1，可得到BD=

10

，在Rt△ADB中，運用勾股定理計算AD=2

2

，由于∠OAB=45°，∠DAB=90°得到∠DAE=90°-45°=45°，于是得到△ADE為等腰直角三角形，AE=DE=

2

2

×2

2

=2，則OE=1，可確定D點坐標，然后利用待定系數(shù)法克確定k的值．

解答：解：連AD、BC，過D點作DE⊥x軸于E，如圖，
對于y=-x-1，令x=0，則y=-1；令y=0，-x-1=0，解得x=-1，
∴A點坐標為（-1，0），B點坐標為（0，-1），
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，AB=

2

OA=

2

，
而C點坐標為（2，0），
∴BC=

OB2+OC2

=

5

，
∵BD為⊙O的直徑，
∴∠DAB=90°，
∴∠DAE=90°-45°=45°，
∴AE=DE=

2

2

AD，
又∵∠ADB=∠OCB，
∴Rt△ADB∽Rt△OCB，
∴BD：BC=AB：OB，即BD：

5

=

2

：1，
∴BD=

10

，
在Rt△ADB中，AD=

BD2-AB2

=

8

=2

2

，
∴AE=DE=

2

2

×2

2

=2，
∴OE=AE-OA=2-1=1，
∴點D的坐標為（1，2），
把D（1，2）代入y=

k

x

得k=1×2=2．
故答案為2．

點評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題：運用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式；會確定直線與坐標軸的交點坐標；學會運用圓周角定理進行幾何證明；熟練運用等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理和相似比進行幾何計算．