已知:AC是⊙O的直徑,點A、B、C、O在⊙O1上,OA=2.建立如圖所示的直角坐標系.∠ACO=∠ACB=60度.
(1)求點B關于x軸對稱的點D的坐標;
(2)求經(jīng)過三點A、B、O的二次函數(shù)的解析式;
(3)該拋物線上是否存在點P,使四邊形PABO為梯形?若存在,請求出P點的坐標;若不存在,請說明理由.
(1)如圖:∵點A、B、C、D在⊙O上,且∠ACO=∠ACB=60°,
∴∠BOA=∠ABO=60°,
∴△ABO是等邊三角形,
∵OA=2,
過點B作BD⊥OA于點D,
∴OD=
1
2
OA-1,BD=OB•sin60°=
3
,
∴B(1,
3
),
∴點B關于x軸對稱的點D的坐標為(1,-
3
);

(2)設經(jīng)過A(2,0)、B(1,
3
)、O(0,0)的二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0),
0=c
0=4a+2b+c
3
=a+b+c
,
a=-
3
b=2
3
c=0

∴y=-
3
x2
+2
3
;

(3)存在點P,使四邊形PABO為梯形,
∵△BOA是等邊三角形,
點D是點B關于x軸的對稱點,
∴OA、BD相互垂直平分,
∴四邊形DABO是菱形,
∴ADBO,
∴所求點P必在直線AD上,
設直線AD的解析式為y=kx+b(k≠O),
0=2k+b
-
3
=K+b
,
k=
3
b=-2
3
,
∴y=
3
x-2
3
,
聯(lián)立
y=
3
x-2
3
y=-
3
x2+2
3
x
,
解得
x1=2
y1=0
x2=-1
y1=-3
3
,
x1=2
y1=0
時,就是點A(2,0);
x2=-1
y1=-3
3
時,
即為所求點P(-1,-3
3
),
過點P作PG⊥x軸于G,則|PG|=3
3
,
∴PA=6而BO=2,
在四邊形PABO中,BOAP且BO≠AP,
∴四邊形PABO不是平行四邊形,
∴OP與AB不平行,
∴四邊形PABO為梯形,
同理,在拋物線上可求得另一點P(3,-3
3
),也能使四邊形PABO為梯形.
故存在點P(-1,-3
3
),或P(3,-3
3
),使四邊形PABO為梯形.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過M(1,0)和N(3,0)兩點,且與y軸交于D(0,3),直線l是拋物線的對稱軸.
(1)求該拋物線的解析式.
(2)若過點A(-1,0)的直線AB與拋物線的對稱軸和x軸圍成的三角形面積為6,求此直線的解析式.
(3)點P在拋物線的對稱軸上,⊙P與直線AB和x軸都相切,求點P的坐標.

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如圖,二次函數(shù)y=-x2-2x的圖象與x軸交于點A、O,在拋物線上有一點P,滿足S△AOP=3,則點P的坐標是(  )
A.(-3,-3)B.(1,-3)
C.(-3,-3)或(-3,1)D.(-3,-3)或(1,-3)

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知二次函數(shù)y=-
1
2
x2
+bx+c的圖象經(jīng)過A(2,0)、B(0,-6)兩點.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)設該二次函數(shù)的對稱軸與x軸交于點C,連接BA、BC,求△ABC的面積.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線y=(x+1)2+k與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C(0,-3);
(1)求拋物線的對稱軸及k的值;
(2)拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使得|PB-PC|的值最大?若存在,求出點P的坐標;
(3)如果點M是拋物線在第三象限的一動點;當M點運動到何處時,M點到AC的距離最大?求出此時的最大距離及M的坐標.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知二次函數(shù)y=
1
2
x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(c,-2),,求證:這個二次函數(shù)圖象的對稱軸是x=3.
題目中的矩形框部分是一段墨水污染了無法辨認的文字.
(1)根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有的信息,你能否求出題中的二次函數(shù)解析式?若能,請寫出求解過程;若不能,請說明理由;
(2)請你根據(jù)已有的信息,在原題中的矩形框中,填加一個適當?shù)臈l件,把原題補充完整.

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某蔬菜基地種植西紅柿,由歷年市場行情得知,從二月一日起的300天內(nèi),西紅柿的市場售價與上市時間的關系用圖一的一條折線表示;西紅柿的種植成本與上市時間的關系用圖二的拋物線段表示.

(1)寫出圖一表示的市場售價與時間的函數(shù)關系式P;寫出圖二表示的種植成本與時間的函數(shù)關系式Q;
(2)認定市場售價減去種植成本為純收益,問何時上市的西紅柿純收益最大?

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知拋物線y=-
2
3
x2+
4
3
x+2的圖象與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,拋物線的對稱軸與x軸交于點D.點M從O點出發(fā),以每秒1個單位長度的速度向B運動,過M作x軸的垂線,交拋物線于點P,交BC于Q.
(1)求點B和點C的坐標;
(2)設當點M運動了x(秒)時,四邊形OBPC的面積為S,求S與x的函數(shù)關系式,并指出自變量x的取值范圍;
(3)在線段BC上是否存在點Q,使得△DBQ成為以BQ為一腰的等腰三角形?若存在,求出點Q的坐標,若不存在,說明理由.

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