Question

如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx的圖象開(kāi)口向下，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B，頂點(diǎn)A在直線y=x上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）證明：△AOB是等腰直角三角形；
（2）若△AOB的外接圓C的半徑為1，求該二次函數(shù)的解析式；
（3）對(duì)題（2）中所求出的二次函數(shù)，在其圖象上是否存在點(diǎn)P（點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合），使得△POC是以PC為腰的等腰三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）∵點(diǎn)A在直線y=x上，
∴設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，m）
過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸，交x軸于點(diǎn)D，
∵點(diǎn)A是二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，
∴直線AD是其對(duì)稱軸，
∴點(diǎn)D是OB的中點(diǎn)．
∴OD=DB=AD，
∴△AOB是等腰直角三角形．

（2）若△AOB的外接圓半徑為1，則OC=BC=AC=1；
∴A（1，1），B（2，0）；
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）²+1，則有：
a×（2-1）²+1=0，a=-1；
∴拋物線的解析式為y=-（x-1）²+1；

（3）存在，點(diǎn)P（

1

2

，

3

4

）；
此題要分兩種情況：
①等腰△POC以CO、PC為腰，此時(shí)C與A、B重合，顯然此種情況不符合題意；
②等腰△POC以PO、PC為腰，此時(shí)P點(diǎn)在CO的垂直平分線上，所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

1

2

；
代入拋物線的解析式中，得：y=-（

1

2

-1）²+1=

3

4

；
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

1

2

，

3

4

），
綜合上述兩種情況可知，存在符合條件的P點(diǎn)，且P（

1

2

，

3

4

）．