Question

如圖所示，PA切⊙O于A，OP交⊙O于B，且PB=1，PA=

3

，求陰影部分的面積．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),扇形面積的計算

專題：壓軸題

分析：連接OA，PA切⊙O于A，則∠A=90°，設(shè)⊙O的半徑為x，則在Rt△OAP中，根據(jù)勾股定理列方程求出⊙O的半徑，再根據(jù)三角形函數(shù)確定∠P，∠AOB的度數(shù)，利用陰影部分的面積=S_△PAO-S_扇形OAB，代入數(shù)值即可求值．

解答：解：連接OA，∵PA切⊙O于A，
∴∠A=90°，設(shè)⊙O的半徑為x，
∴在Rt△OAP中，
PO²=OA²+PA²，
即（1+x）²=x²+（

3

）²，
解得x=1，tanP=OA：PA=1：

3

，
∴∠P=30°，∠AOB=60°，
∴陰影部分的面積=S_△PAO-S_扇形OAB=

1

2

×1×

3

=

3

2

-

π

6

=

3 3 -π

6

．

點評：本題考查切線的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形、扇形的面積公式、三角形函數(shù)，解決問題得關(guān)鍵是利用勾股定理列方程求出圓的半徑．