Question

7．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（m+1）x+$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m-$\frac{3}{4}$=0的兩根是一個(gè)矩形兩鄰邊的長(zhǎng)．
（1）求矩形兩鄰邊的長(zhǎng)（用有關(guān)m的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為$\sqrt{10}$時(shí)，求m的值．

Answer 1

分析 （1）先求出△，再代入公式求出即可；
（2）根據(jù)勾股定理得出關(guān)于m的方程，求出方程的解即可．

解答 解：（1）x²-（m+1）x+$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m-$\frac{3}{4}$=0，
x=$\frac{（m+1）±\sqrt{4}}{2}$，
x₁=$\frac{m+3}{2}$，x₂=$\frac{m-1}{2}$，
即矩形兩鄰邊的長(zhǎng)為$\frac{m+3}{2}$和$\frac{m-1}{2}$；

（2）∵矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為$\sqrt{10}$，
∴（$\frac{m+3}{2}$）²+（$\frac{m-1}{2}$）²=（$\sqrt{10}$）²，
解得：m=-5或3，
當(dāng)m=-5時(shí)，$\frac{m+3}{2}$=-1，邊長(zhǎng)不能為負(fù)數(shù)，不符合題意舍去，
所以m=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式等知識(shí)點(diǎn)，能求出兩邊長(zhǎng)是解此題的關(guān)鍵．