Question

17．如圖1，已知拋物線y=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3與x軸交于A和B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
（1）求出點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)；
（2）如圖1，若線段OB在x軸上移動(dòng)，且點(diǎn)O，B移動(dòng)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為O′，B′．首尾順次連接點(diǎn)O′、B′、D、C構(gòu)成四邊形O′B′DC，當(dāng)四邊形O′B′DC的周長(zhǎng)有最小值時(shí)，在第四象限找一點(diǎn)P，使得△PB′D的面積最大？并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）如圖2，若點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N在y軸上，連接CM、MN．當(dāng)△CMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）令y=0，解方程即可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用配方法或頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）作點(diǎn)C（0，-3）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′（0，3），將點(diǎn)C′（0，3）向右平移4個(gè)單位得到點(diǎn)C″（4，3），連接DC″，交x軸于點(diǎn)B′，將點(diǎn)B′向左平移4個(gè)單位得到點(diǎn)O′，連接CO′，CO″，則四邊形O′B′C′C″為平行四邊形，此時(shí)四邊形O′B′DC周長(zhǎng)取最小值．再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出CD、DC″的長(zhǎng)度，即可得出結(jié)論；
（3）按點(diǎn)M的位置不同分兩種情況考慮：①點(diǎn)M在直線y=x-3上，；②點(diǎn)M在直線y=-x-3上，聯(lián)立直線與拋物線解析式求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)C的坐標(biāo)以及等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)．綜合兩種情況即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）令y=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3中y=0，則 $\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3=0，
解得：x₁=-2，x₂=4，
∴A（-2，0），B（4，0）．
∵y=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3=$\frac{3}{8}$（x²-2x）-3=$\frac{3}{8}$（x-1）²-$\frac{27}{8}$，
∴D（1，-$\frac{27}{8}$）．

（2）令y=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3中x=0，則y=-3，
∴C（0，-3）．
D（1，-$\frac{27}{8}$），O′B′=OB=4．
如圖1，作點(diǎn)C（0，-3）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′（0，3），將點(diǎn)C′（0，3）向右平移4個(gè)單位得到點(diǎn)C″（4，3），連接DC″，交x軸于點(diǎn)B′，將點(diǎn)B′向左平移4個(gè)單位得到點(diǎn)O′，連接CO′，CO″，則四邊形O′B′C′C″為平行四邊形，此時(shí)四邊形O′B′DC周長(zhǎng)取最小值．

此時(shí)C_{四邊形O′B′DC}=CD+O′B′+CO′+DB′=CD+OB′+DC″．
∵O′B′=4，CD=$\sqrt{（1-0）^{2}+（-3+\frac{27}{8}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{73}}{8}$，C″D=$\sqrt{（4-1）^{2}+（3+\frac{27}{8}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{353}}{8}$，
∴四邊形O′B′DC的周長(zhǎng)最小值為4+$\frac{\sqrt{73}}{8}$+$\frac{3\sqrt{353}}{8}$．
設(shè)P（m，$\frac{3}{8}$m²-$\frac{3}{4}$m-3），作DH⊥x軸于H，連接PH．易知H（1，0），B′（$\frac{44}{17}$，0）
S_△PDB′=S_△PDH+S_△PHB′-S_△DHB′=$\frac{1}{2}$•$\frac{27}{8}$（m-1）+$\frac{1}{2}$•$\frac{27}{17}$•（-$\frac{3}{8}$m²+$\frac{3}{4}$m+3）-$\frac{1}{2}$•$\frac{27}{8}$•$\frac{27}{17}$
=$\frac{27}{272}$（-3m²+23m-20），
∴m=$\frac{23}{6}$時(shí)，△PDB′的面積最大，
此時(shí)P（$\frac{23}{6}$，-$\frac{37}{96}$）．

（3）△CMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形分兩種情況（如圖2）：

①過點(diǎn)C作直線y=x-3交拋物線于點(diǎn)M，
聯(lián)立直線CM和拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x-3}\\{y=\frac{3}{8}{x}^{2}-\frac{3}{4}x-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{14}{3}}\\{y=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴M（ $\frac{14}{3}$，$\frac{5}{3}$）．
∵△CMN為等腰直角三角形，C（0，-3），
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，$\frac{5}{3}$）或（0，$\frac{19}{3}$）；
②過點(diǎn)C作直線y=-x-3交拋物線于點(diǎn)M，
聯(lián)立直線CM和拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-3}\\{y=\frac{3}{8}{x}^{2}-\frac{3}{4}x-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}{3}}\\{y=-\frac{7}{3}}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴M（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{7}{3}$）．
∵△CMN為等腰直角三角形，C（0，-3），
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，-$\frac{7}{3}$）或（0，-$\frac{5}{3}$）．
綜上可知：當(dāng)△CMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，$\frac{5}{3}$）、（0，$\frac{19}{3}$）、（0，-$\frac{7}{3}$）或（0，-$\frac{5}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、一元二次方程、等腰直角三角形的性質(zhì)以及二元二次方程組等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)利用對(duì)稱解決最短問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．