Question

設(shè)an=500+n2，n為給定的自然數(shù)．對于任意非負整數(shù)n，記f（n）為a_n，a_n+1的最大公約數(shù)．試求f（n）的所有可能值．

Answer 1

考點：約數(shù)與倍數(shù)

專題：

分析：根據(jù)a_n+1-a_n=n²+2n+1+500-（500+n²）=2n+1，得出a_n=500+n²=500+

[af(n)-1]2

4

=

a2[f(n)]2-2af(n)+2001

4

，進而得出f（n）的最大值，即可得出f（n）的所有可能值．

解答：解：a_n+1=500+（n+1）²=n²+2n+1+500，a_n=500+n²，
當a_n，a_n+1有最大公約數(shù)f（n）=（a_n，a_n+1），顯然，f（n）也是a_n+1-a_n的約數(shù)．
a_n+1-a_n=n²+2n+1+500-（500+n²）=2n+1，必是個奇數(shù)；
令2n+1=af（n），（a、f（n）是奇數(shù)），
則n=

af(n)-1

2

，
 a_n=500+n²=500+

[af(n)-1]2

4

=

a2[f(n)]2-2af(n)+2001

4

，
顯然a²[f（n）]²、2af（n）、2001這三項都必須能提出公因數(shù)f（n），顯然f（n）最大就是2001．
∵2001=3×667=1×2001，
∴f（n）的所有可能值為1，3，667，2001．

點評：此題主要考查了約數(shù)與倍數(shù)，得出a²[f（n）]²、2af（n）、2001這三項都必須能提出公因數(shù)f（n），f（n）最大就是2001是解題關(guān)鍵．