已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過點(diǎn)A(2,4),頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
1
2
,它的圖象與x軸交于兩點(diǎn)B(x1,0)、C(x2,0),與y軸交于點(diǎn)D,且x12+x22=13.試問:y軸上是否存在點(diǎn)P,使得△POB與△DOC相似(O為坐標(biāo)原點(diǎn))?若存在,請求出過P、B兩點(diǎn)直線的解析式;若不存在,請說明理由.
∵y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)B(x1,0),C(x2,0),
∴x1+x2=-
b
a
,x1x2=
c
a
;
又∵x12+x22=13,即(x1+x22-2x1x2=13,
∴(-
b
a
2-2•
c
a
=13,①
4a+2b+c=4,②
-
b
2a
=
1
2
.③
解由①、②、③組成的方程組,
得a=-1,b=1,c=6;
∴y=-x2+x+6;(2分)
與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),(3,0),(3分)
與y軸交點(diǎn)D坐標(biāo)為(0,6);(4分)
設(shè)y軸上存在點(diǎn)P,使得△POB△DOC,則
(1)當(dāng)B(-2,0),C(3,0),D(0,6)時(shí),
OB
OC
=
OP
OD
,OB=2,OC=3,OD=6;
∴OP=4;即點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,4)或(0,-4);
當(dāng)P坐標(biāo)為(0,4)時(shí),可設(shè)過P、B兩點(diǎn)直線的解析式為y=kx+4,
有0=2k+4,得k=2;
∴y=2x+4;(4.5分)
當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-4)時(shí),可設(shè)過P、B兩點(diǎn)直線的解析式為y=kx-4;
有0=-2k-4,
得k=-2;
∴y=-2x-4(5分)
OB
OD
=
OP
OC
,OB=2,OD=6,OC=3
∴OP=1,這時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)或(0,-1);
當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)時(shí),可設(shè)過P、B兩點(diǎn)直線的解析式為y=kx+1;
有0=-2k+1,
得k=
1
2

∴y=
1
2
x+1(5.5分)
當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-1)時(shí),可設(shè)過P、B兩點(diǎn)直線的解析式為y=kx-1;
有0=-2k-1,
得k=-
1
2
;(6分)
∴y=-
1
2
x-1;
(2)當(dāng)B(3,0),C(-2,0),D(0,6)時(shí),同理可得
y=-3x+9(6.5分)
或y=3x-9(7分)
或y=-
1
3
x+1(7.5)
或y=
1
3
x-1.(8分)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線y=ax2+bx+1與x軸交于兩點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)過點(diǎn)B作BDCA拋物線交于點(diǎn)D,求四邊形ACBD的面積;
(3)在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)M,過M作MN⊥x軸于點(diǎn)N,使以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似?若存在,則求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,直線y=x+m和拋物線y=x2+bx+c都經(jīng)過點(diǎn)A(2,0),B(5,3).
(1)求m的值和拋物線的解析式;
(2)求不等式ax2+bx+c≤x+m的解集(直接寫出答案);
(3)若拋物線與y軸交于C,求△ABC的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖①所示,在直角梯形ABCD中,∠BAD=90°,E是直線AB上一點(diǎn),過E作直線lBC,交直線CD于點(diǎn)F.將直線l向右平移,設(shè)平移距離BE為t(t≥0),直角梯形ABCD被直線l掃過的面積(圖中陰影部分)為S,S關(guān)于t的函數(shù)圖象如圖②所示,OM為線段,MN為拋物線的一部分,NQ為射線,N點(diǎn)橫坐標(biāo)為4.

信息讀取
(1)梯形上底的長AB=______;
(2)直角梯形ABCD的面積=______;
圖象理解
(3)寫出圖②中射線NQ表示的實(shí)際意義;
(4)當(dāng)2<t<4時(shí),求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;
問題解決
(5)當(dāng)t為何值時(shí),直線l將直角梯形ABCD分成的兩部分面積之比為1:3.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖已知點(diǎn)A(-2,4)和點(diǎn)B(1,0)都在拋物線y=mx2+2mx+n上.
(1)求m、n;
(2)向右平移上述拋物線,記平移后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A′,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B′,若四邊形AA′B′B為菱形,求平移后拋物線的表達(dá)式;
(3)記平移后拋物線的對稱軸與直線AB′的交點(diǎn)為點(diǎn)C,試在x軸上找點(diǎn)D,使得以點(diǎn)B′、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如圖,一邊靠校園圍墻,其他三邊用總長為40米的鐵欄桿圍成一個(gè)矩形花圃,設(shè)矩形ABCD的邊AB為x米,面積為S平方米,要使矩形ABCD面積最大,則x的長為( 。
A.10米B.15米C.20米D.25米

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在一面靠墻的空地上用長為24米的籬笆,圍成中間隔有二道籬笆的長方形花圃,墻的最大可用長度為8米,設(shè)花圃的寬AB為x米,面積為S平方米.
(1)求S與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求自變量的取值范圍;
(3)當(dāng)x取何值時(shí)所圍成的花圃面積最大,最大值是多少?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,拋物線y=x2向左平移1個(gè)單位,再向下平移4個(gè)單位,得到拋物線y=(x-h)2+k,所得拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D.
(1)求h、k的值;
(2)判斷△ACD的形狀,并說明理由;
(3)在線段AC上是否存在點(diǎn)M,使△AOM與△ABC相似?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線y=x2+bx+c的部分圖象;如圖
(1)求該拋物線的表達(dá)式;
(2)寫出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(3)觀察圖象指出,當(dāng)x分別取何值時(shí),有y>0,y<0;
(4)若拋物線與x軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)A與點(diǎn)B(A在B左側(cè)),在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使S△PAB=8?若存在,請求出P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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同步練習(xí)冊答案