如圖,拋物線y=ax2+bx+1與x軸交于兩點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)過(guò)點(diǎn)B作BDCA拋物線交于點(diǎn)D,求四邊形ACBD的面積;
(3)在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)M,過(guò)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N,使以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似?若存在,則求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1)依題意,得:
a-b+1=0
a+b+1=0
,解得
a=-1
b=0
;
∴拋物線的解析式為:y=-x2+1;

(2)易知A(-1,0),C(0,1),則直線AC的解析式為:y=x+1;
由于ACBD,可設(shè)直線BD的解析式為y=x+h,則有:1+h=0,h=-1;
∴直線BD的解析式為y=x-1;聯(lián)立拋物線的解析式得:
y=-x2+1
y=x-1
,解得
x=1
y=0
,
x=-2
y=-3
;
∴D(-2,-3);
∴S四邊形ACBD=S△ABC+S△ABD=
1
2
×2×1+
1
2
×2×3=4;

(3)∵OA=OB=OC=1,
∴△ABC是等腰Rt△;
∵ACBD,
∴∠CBD=90°;
易求得BC=
2
,BD=3
2
;
∴BC:BD=1:3;
由于∠CBD=∠MNA=90°,若以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似,則有:
△MNA△CBD或△MNA△DBC,得:
MN
AN
=
BC
BD
=
1
3
MN
AN
=
BD
BC
=3;
即MN=
1
3
AN或MN=3AN;
設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,-x2+1),
①當(dāng)x>1時(shí),AN=x-(-1)=x+1,MN=x2-1;
∴x2-1=
1
3
(x+1)或x2-1=3(x+1)
解得x=
4
3
,x=-1(舍去)或x=4,x=-1(舍去);
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為:M(
4
3
,-
7
9
)或(4,-15);
②當(dāng)x<-1時(shí),AN=-1-x,MN=x2-1;
∴x2-1=
1
3
(-x-1)或x2-1=3(-x-1)
解得x=
2
3
,x=-1(兩個(gè)都不合題意,舍去)或x=-2,x=-1(舍去);
∴M(-2,-3);
故存在符合條件的M點(diǎn),且坐標(biāo)為:M(
4
3
,-
7
9
)或(4,-15)或(-2,-3).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線y=ax2+bx-2經(jīng)過(guò)(2,1)和(6,-5)兩點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)設(shè)此拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于C點(diǎn),點(diǎn)P是在直線x=4右側(cè)的此拋物線上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸,垂足為M.若以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與△OCB相似,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)E是直線BC上的一點(diǎn),點(diǎn)F是平面內(nèi)的一點(diǎn),若要使以點(diǎn)O、B、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).拋物線y=ax2+bx過(guò)A、C兩點(diǎn).
(1)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo),并求出拋物線的解析式;
(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā).沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿線段CD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng).速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB交AC于點(diǎn)E.
①過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F,交拋物線于點(diǎn)G.當(dāng)t為何值時(shí),線段EG最長(zhǎng)?
②連接EQ.在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,判斷有幾個(gè)時(shí)刻使得△CEQ是等腰三角形?請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的t值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖1,已知拋物線的頂點(diǎn)為A(2,1),且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)C在拋物線的對(duì)稱軸上,點(diǎn)D在拋物線上,且以O(shè)、C、D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,求D點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)連接OA、AB,如圖2,在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△OBP與△OAB相似?若存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

如圖,某校的圍墻由一段相同的凹曲拱組成,其拱狀圖形為拋物線的一部分,柵欄的跨徑AB間,按相同間隔0.2米用5根立柱加固,拱高OC為0.36米,則立柱EF的長(zhǎng)為(  )
A.0.4米B.0.16米C.0.2米D.0.24米

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,排球運(yùn)動(dòng)員站在點(diǎn)O處練習(xí)發(fā)球,將球從O點(diǎn)正上方2m的A處發(fā)出,把球看成點(diǎn),其運(yùn)行的高度y(m)與運(yùn)行的水平距離x(m)滿足關(guān)系式y(tǒng)=a(x-6)2+h.已知球網(wǎng)與O點(diǎn)的水平距離為9m,高度為2.43m,球場(chǎng)的邊界距O點(diǎn)的水平距離為18m.
(1)當(dāng)h=2.6時(shí),求y與x的關(guān)系式(不要求寫出自變量x的取值范圍)
(2)當(dāng)h=2.6時(shí),球能否越過(guò)球網(wǎng)?球會(huì)不會(huì)出界?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若球一定能越過(guò)球網(wǎng),又不出邊界,求h的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)A(2,4),頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
1
2
,它的圖象與x軸交于兩點(diǎn)B(x1,0)、C(x2,0),與y軸交于點(diǎn)D,且x12+x22=13.試問(wèn):y軸上是否存在點(diǎn)P,使得△POB與△DOC相似(O為坐標(biāo)原點(diǎn))?若存在,請(qǐng)求出過(guò)P、B兩點(diǎn)直線的解析式;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖所示,有長(zhǎng)24米的籬笆,一面利用墻(墻的最大長(zhǎng)度為10米),圍成中間有一道籬笆的長(zhǎng)方形花圃.設(shè)花圃的邊AB長(zhǎng)為x,花圃的面積為s米2
(1)請(qǐng)求出s與x的函數(shù)關(guān)系式.
(2)按照題中要求,所圍的花圃面積能否是48米2?若能,求出的x值;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(參考公式:二次函數(shù)y=ax2+bx+c=0,當(dāng)x=-
b
2a
時(shí),y最大(小)值=
4ac-b2
4a

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

據(jù)統(tǒng)計(jì)每年由于汽車超速行駛而造成的交通事故是造成人員死亡的主要原因之一.行駛中的汽車,在剎車后由于慣性的原因,還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住,這段距離稱為“剎車距離”.為了測(cè)定某種型號(hào)汽車的剎車性能(車速不超過(guò)140千米/時(shí)),對(duì)這種汽車的剎車距離進(jìn)行測(cè)試,測(cè)得的數(shù)據(jù)如下表:
剎車時(shí)車速(千米/時(shí))051015202530
剎車距離(米)00.10.30.611.52.1
(1)在如圖所示的直角坐標(biāo)系中以車速為x軸,以剎車距離為y軸描出這些數(shù)據(jù)所表示的點(diǎn),并用光滑的曲線連接這些點(diǎn),得到某函數(shù)的大致圖象.
(2)觀察圖象估計(jì)函數(shù)的類型,并確定一個(gè)滿足這些數(shù)據(jù)的函數(shù)解析式.
(3)一輛該型號(hào)的汽車在國(guó)道上發(fā)生了交通事故,現(xiàn)場(chǎng)測(cè)得剎車距離為46.5米,請(qǐng)推測(cè)剎車時(shí)速度是多少?請(qǐng)問(wèn)在事故發(fā)生時(shí),汽車是否超速行駛?

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同步練習(xí)冊(cè)答案