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如圖已知點A(-2,4)和點B(1,0)都在拋物線y=mx2+2mx+n上.
(1)求m、n;
(2)向右平移上述拋物線,記平移后點A的對應點為A′,點B的對應點為B′,若四邊形AA′B′B為菱形,求平移后拋物線的表達式;
(3)記平移后拋物線的對稱軸與直線AB′的交點為點C,試在x軸上找點D,使得以點B′、C、D為頂點的三角形與△ABC相似.
(1)由于拋物線經過A(-2,4)和點B(1,0),則有:
4m-4m+n=4
m+2m+n=0
,解得
m=-
4
3
n=4
;
故m=-
4
3
,n=4.

(2)由(1)得:y=-
4
3
x2-
8
3
x+4=-
4
3
(x+1)2+
16
3

由A(-2,4)、B(1,0),可得AB=
(1+2)2+(0-4)2
=5;
若四邊形AA′B′B為菱形,則AB=BB′=5,即B′(6,0);
故拋物線需向右平移5個單位,即:
y=-
4
3
(x+1-5)2+
16
3
=-
4
3
(x-4)2+
16
3


(3)由(2)得:平移后拋物線的對稱軸為:x=4;
∵A(-2,4),B′(6,0),
∴直線AB′:y=-
1
2
x+3;
當x=4時,y=1,故C(4,1);
所以:AC=3
5
,B′C=
5
,BC=
10
;
由(2)知:AB=BB′=5,即∠BAC=∠BB′C;
若以點B′、C、D為頂點的三角形與△ABC相似,則:
①∠B′CD=∠ABC,則△B′CD△ABC,可得:
B′C
AB
=
B′D
AC
,即
5
5
=
B′D
3
5
,B′D=3,
此時D(3,0);
②∠B′DC=∠ABC,則△B′DC△ABC,可得:
B′C
AC
=
B′D
AB
,即
5
3
5
=
B′D
5
,B′D=
5
3
,
此時D(
13
3
,0);
綜上所述,存在符合條件的D點,且坐標為:D(3,0)或(
13
3
,0).
練習冊系列答案
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(1)求出此拋物線函數表達式,并直接寫出直線BC的解析式;
(2)求證:∠BEF=∠COE;
(3)當△EOF為等腰三角形時,求此時點E的坐標;
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3
,1)、C(-3
3
,0)、O(0,0).將此矩形沿著過E(-
3
,1)、F(-
4
3
3
,0)的直線EF向右下方翻折,B、C的對應點分別為B′、C′.
(1)求折痕所在直線EF的解析式;
(2)一拋物線經過B、E、B′三點,求此二次函數解析式;
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1
2
,它的圖象與x軸交于兩點B(x1,0)、C(x2,0),與y軸交于點D,且x12+x22=13.試問:y軸上是否存在點P,使得△POB與△DOC相似(O為坐標原點)?若存在,請求出過P、B兩點直線的解析式;若不存在,請說明理由.

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9
2
,求二次函數關系式.

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