Question

如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是CB，AB的中點，連接CF并延長，與DA的延長線交于點M，連接DE交CF于點P，連接AP，則有下列結(jié)論：①∠BCF=∠CDE；②AP=AD：③CM=CD+DE；④S_△CDM=5S_{四邊形EPFB}，其中正確的結(jié)論有（　　）

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),三角形中位線定理,正方形的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)，即可得∠DCE=∠B=90°，CD=BC=AB，又由E、F分別是CB，AB的中點，利用SAS即可判定△DCE≌△CBF，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，即可判定①正確；根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等，即可得DE⊥CF，再利用ASA證得△BCF≌△AMF，即可得到AD=AM，然后利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可判定②正確；由△DCE≌△CBF，可得CF=DM，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得FM＞AM，即FM＞CD，可判定③錯誤；利用相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可判定④正確．

解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DCE=∠B=90°，CD=BC=AB，
∵E、F分別是CB，AB的中點，
∴BF=

1

2

AB，CE=

1

2

BC，
∴BF=CE，
∴△DCE≌△CBF（SAS），
∴∠BCF=∠CDE，
故①正確；
∵∠CDE+∠CEP=90°，
∴∠BCF+∠CEP=90°，
∴∠CPE=90°，
即CF⊥DE，
∵BF=AF，∠B=∠BAM=90°，∠BFC=∠AFM，
∴△BCF≌△AMF（ASA），
∴AM=BC，
∴AD=AM，
∴AP=AD，
故②正確；
∵△DCE≌△CBF，
∴CF=DE，
∵∠FAM=90°，
∴FM＞AM，
即FM＞CD，
∴CM=CF+FM=DE+FM＞CD+DE；
故③錯誤；
設(shè)CE=a，S_△CDM=b，則BC=2a，AB=AD=AM=CD=2a，BF=AF=a，
∴MD=AD+AM=4a，
∴CF=

BC2+BF2

=

5

a，
∵∠BCF=∠PCE，∠B=∠CPE=90°，
∴△CPE∽△CBF，
∴

S△CPE

S△CBF

=(

CE

CF

)2，
∴S_△CDM=5b，
∴S_{四邊形EPFB}=4b，
∵BC∥AD，
∴△CPE∽△MPD，
∴

S△CPE

S△MPD

=(

CE

MD

)2=

1

16

，
∴S_△MPD=16b，
∵

S△CPE

S△CPD

=

PE

PD

 =

CE

DM

=

1

4

，
∴S_△CPD=4b，
∴S_△CDM=S_△CPD+S_△MPD=4b+16b=20b，
∴S_△CDM=5S_{四邊形EPFB}．
故④正確．
∴其中正確的結(jié)論有①②④．
故選C．

點評：此題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意相似三角形與全等三角形的判定，以及其性質(zhì)的靈活應(yīng)用．