Question

1．在平面直角坐標系中，直線y=-$\frac{1}{2}$x+a（a＞0）?分別與x 軸、y 軸交于A、B 兩點，C、D 的坐標分別為 C（0，b）、D（2a，b-a）（b＞a）．
（1）試判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由；
（2）若點C、D關于直線AB的對稱點分別為C′、D′．
①當b=3時，試問：是否存在滿足條件的a，使得△BC′D′面積為$\frac{5}{2}$？
②當點C′恰好落在x軸上時，試求a 與b的函數表達式．

Answer 1

分析 （1）先利用坐標軸上點的特點確定出點A，B坐標，進而得出BC=b-a，再利用點A，D坐標的得出AD=b-a=BC，另為利用A，D點的坐標特點得出AD∥BC即可得出結論；
（2）①利用對稱性和（1）中得出的四邊形ABCD是平行四邊形，即可得出S_△BC'D'=S_△BCD，根據三角形的面積公式得出S_△BC'D'=a（3-a），建立方程，判斷出此方程無解，即可得出不存在滿足條件的a，使得△BC′D′面積為$\frac{5}{2}$；
②利用同角的余角相等得出，∠CC'O=∠ABO進而得出∠△CC'O∽△ABO，得出C'O=$\frac{2}$，最后用勾股定理即可得出結論．

解答 解：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，
理由：
∵直線y=-$\frac{1}{2}$x+a（a＞0）?分別與x 軸、y 軸交于A、B 兩點，
∴A（2a，0），B（0，a），
∵C（0，b）、（b＞a）．
∴BC=b-a，
∵D（2a，b-a）．
∴AD=b-a=BC，
∵A（2a，0），D（2a，b-a）．
∴AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，

（2）①不存在滿足條件的a，使得△BC'D'的面積為$\frac{5}{2}$，
理由：如圖1，連接BD，BD'，過點D作DE⊥y軸于E，
∴DE=OA=2a，
∵點C、D關于直線AB的對稱點分別為C′、D′．
∴S_{平行四邊形ABC'D}'=S_{平行四邊形ABCD}，
∵DB，BD'分別是平行四邊形ABCD，ABC'D的對角線，
∴S_△BC'D'=S_△BCD=$\frac{1}{2}$BC•DE=$\frac{1}{2}$（b-a）•2a=a（b-a），
∵b=3，
∴S_△BC'D'=a（3-a），
假設存在存在滿足條件的a，使得△BC′D′面積為$\frac{5}{2}$，
∴a（3-a）=$\frac{5}{2}$，
∴2a²-6a+5=0，
而△=36-4×2×5=-4＜0，
∴此方程無解，
假設錯誤，
∴不存在滿足條件的a，使得△BC'D'的面積為$\frac{5}{2}$，

②如圖2，
連接CC'，則直線AB垂直平分線CC'，
∴∠CC'O+∠C'AB=90°，
∵∠C'AB+∠ABO=90°，
∴∠CC'O=∠ABO，
∵∠COC'=∠AOB=90°，
∴△CC'O∽△ABO，
∴$\frac{CO}{AO}=\frac{C'O}{BO}$，
∴$\frac{2a}=\frac{C'O}{a}$，
∴C'O=$\frac{2}$，
由軸對稱的性質得，BC'=BC=b-a，
在Rt△BC'O中，OB²+C'O²=C'B²，
∴a²+（$\frac{2}$）²=（b-a）²，
∴3b²-8ab=b（3b-8a）=0，
∵b＞a＞0，
∴3b-8a=0，
∴$\frac{a}=\frac{3}{8}$，
∴a 與b的函數表達式a=$\frac{3}{8}$b（b＞0）．

點評 此題是一次函數綜合題，主要考查了平行四邊形的判定和性質，相似三角形的性質和判定，三角形的面積公式，勾股定理軸對稱的性質，一元二次方程的根的判別式等知識點，體現了數形結合的思想，判定出四邊形ABCD是平行四邊形是解本題的關鍵．