Question

12．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，$\sqrt{3}$），點(diǎn)D為反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上的任意一點(diǎn)，以D為圓心的圓始終與y軸相切于點(diǎn)A．
（1）求該反比例函數(shù)解析式；
（2）如圖1，當(dāng)⊙D與x軸相交于B、C兩點(diǎn)，且四邊形ABCD是菱形時(shí)，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）如圖2，當(dāng)⊙D與x軸相切于點(diǎn)E時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作直線l，分別交x軸的正半軸于點(diǎn)M，交y軸的正半軸于點(diǎn)N，則$\frac{1}{OM}$+$\frac{1}{ON}$是否為定值？若是，請(qǐng)證明：若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)（4，$\sqrt{3}$）代入y=$\frac{k}{x}$（x＞0）金卡得到結(jié)論；
（2）如圖1，連接BD，過(guò)D作DG⊥BC于G，根據(jù)切線的性質(zhì)得到DA⊥y軸，得到四邊形AOGD是矩形，推出DG=OA，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為x，則其縱坐標(biāo)為 $\frac{4\sqrt{3}}{x}$，由于四邊形ABCD為菱形，得到BC=DA=DB=DC（半徑），證得△DBC為等邊三角形，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論；
（3）如圖2，連接DA，DB，由⊙D與x軸相切于點(diǎn)E，得到DE⊥OM，根據(jù)四邊形AOED是正方形，設(shè)⊙D的半徑=a，得到AD=DE=a，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，$\sqrt{3}$），
∴$\sqrt{3}$=$\frac{k}{4}$，
∴k=4$\sqrt{3}$，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$；
（2）如圖1，連接BD，過(guò)D作DG⊥BC于G，
∵⊙D與y軸相切于點(diǎn)A，
∴DA⊥y軸，
∴四邊形AOGD是矩形，
∴DG=OA，
設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為x，則其縱坐標(biāo)為 $\frac{4\sqrt{3}}{x}$，
過(guò)點(diǎn)D作DG⊥OC于G，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴BC=DA=DB=DC（半徑），
∴△DBC為等邊三角形，
在Rt△DBG中，∠DBG=60°，DB=DA=x，DG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$．
解得：x=±2$\sqrt{2}$（負(fù)值舍去），
∴DA=BC=DC=2$\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2$\sqrt{2}$$\sqrt{3}$）；
（3）如圖2，連接DA，DB，
∵⊙D與x軸相切于點(diǎn)E，
∴DE⊥OM，
∴四邊形AOED是正方形，
設(shè)⊙D的半徑=a，
則AD=DE=a，
∵AD∥OM，DE∥ON，
∴△ADN∽△OMN∽△EMD，
∴$\frac{AD}{OM}=\frac{DN}{MN}$，$\frac{DE}{ON}=\frac{DM}{MN}$，
∴$\frac{AD}{OM}+\frac{DE}{ON}=\frac{DN}{MN}+\frac{DM}{MN}$，
即$\frac{a}{OM}+\frac{a}{ON}=1$，
∴$\frac{1}{OM}$+$\frac{1}{ON}$=$\frac{1}{a}$（定值），
∴$\frac{1}{OM}$+$\frac{1}{ON}$為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用以及菱形、圓的性質(zhì)和正方形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是解題關(guān)鍵．