Question

如圖，已知邊長為2的正三角形ABC沿直線m滾動(dòng)，當(dāng)△ABC滾動(dòng)一周時(shí)，到△DEF位置．設(shè)△ABC滾動(dòng)240°時(shí)，點(diǎn)C的位置為C₁，△ABC滾動(dòng)480°時(shí)，點(diǎn)A的位置為點(diǎn)A₁．根據(jù)三角函數(shù)正切的兩角和公式tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanα•tanβ

，∠CAC₁+∠CAA₁的度數(shù)是

 

°．

Answer 1

考點(diǎn)：解直角三角形,等邊三角形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：過點(diǎn)C₁作C₁H⊥AF，利用銳角三角函數(shù)的定義得出C₁H的值及MH的值，再利用三角函數(shù)的定義求出tan∠CAC₁與tan∠CAA₁的值，然后通過等量代換求出∠CAC₁+∠CAA₁的度數(shù)．

解答：解：設(shè)△ABC滾動(dòng)240°時(shí)，C點(diǎn)的位置為C₁，△ABC滾動(dòng)480°時(shí)，A點(diǎn)的位置為A₁．
∵正△ABC的邊長為2，
∴C₁H=MC1×tan60°=2×

3

2

=

3

即正△ABC的高為

3

，
MH=

1

2

MD=

1

2

×2=1，
∴tan∠CAC₁=

3

2+2+1

=

3

5

，
tan∠CAA₁=

3

4×2+1

=

3

9

，
∴由公式tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanα•tanβ

，
得：tan（∠CAC₁+∠CAA₁），
=

tan∠CAC1+tan∠CAA1

1-tan∠CAC1•tan∠CAA1

，
=（

3

5

+

3

9

）÷（1-

3

5

×

3

9

）
=

3

3

．
∴∠CAC₁+∠CAA₁=30°．
故答案為30°．

點(diǎn)評：本題考查了解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確判斷△ABC滾動(dòng)的軌跡，利用轉(zhuǎn)化思想和等量代換思想是解答此題的關(guān)鍵．