Question

17．如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)F，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，連接MN分別交BD，AC于點(diǎn)P，Q，且∠FPQ=∠FQP，若BD=9，則AC=9．

Answer 1

分析 取線段BC的中點(diǎn)E，連接EM、EN，由三角形中位線定理即可得出ME∥AC、ME=$\frac{1}{2}$AC、NE∥BD、NE=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{9}{2}$，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出∠EMN=∠FQP、∠ENM=∠FPQ，結(jié)合∠FPQ=∠FQP即可得出∠EMN=∠ENM，從而得出ME=NE=$\frac{9}{2}$，由ME=$\frac{1}{2}$AC即可求出AC的長(zhǎng)度．

解答 解：取線段BC的中點(diǎn)E，連接EM、EN，如圖所示．
∵M(jìn)、N，E分別為AB，CD，BC的中點(diǎn)，
∴ME∥AC，ME=$\frac{1}{2}$AC，NE∥BD，NE=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{9}{2}$，
∴∠EMN=∠FQP，∠ENM=∠FPQ．
又∵∠FPQ=∠FQP，
∴∠EMN=∠ENM．
∴ME=NE=$\frac{9}{2}$．
∴AC=2ME=9．
故答案為：9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)三角形中位線定理結(jié)合平行線的性質(zhì)找出∠EMN=∠ENM是解題的關(guān)鍵．