Question

設(shè)p是給定的奇質(zhì)數(shù)，正整數(shù)k使得

k2-pk

也是一個(gè)正整數(shù)，則k=

 

．（結(jié)果用含p的代數(shù)式表示）

Answer 1

考點(diǎn)：有理數(shù)無理數(shù)的概念與運(yùn)算

專題：

分析：由條件可以知道k²-pk是完全平方數(shù)，設(shè)

k2-pk

=n，k²-pk-n²=0，k=

p± p2+4n2

2

，從而p²+4n²是平方數(shù)，設(shè)為m²，則（m-2n）（m+2n）=p²，p是奇質(zhì)數(shù)，p≥3，則

m-2n=1 m+2n=p2

，可以得到

m= p2+1 2 n= p2-1 4

代入就可以求出k值．

解答：解：設(shè)

k2-pk

=n，k²-pk-n²=0，k=

p± p2+4n2

2

，
從而p²+4n²是平方數(shù)，設(shè)為m²，p²+4n²=m²，則（m-2n）（m+2n）=p²
∵p是質(zhì)數(shù)，p≥3，
∴

m-2n=1 m+2n=p2

，解得：

m= p2+1 2 n= p2-1 4

∴k=

p±m(xù)

2

=

2p±(p2+1)

4

，
∴k₁=

(p+1)2

4

，k₂=

-(p-1)2

4

（負(fù)值舍去）
故答案為：

(p+1)2

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查了有理數(shù)和無理數(shù)的意義的運(yùn)用，質(zhì)數(shù)的性質(zhì)，正整數(shù)的意義及對(duì)相關(guān)概念的理解．