Question

14．已知二次函數(shù)y=3ax²+2bx+c
（1）若c=-2，該二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），（-1，0），求此二次函數(shù)的最值；
（2）若a+b+c=0，且x₁=0時(shí)，對應(yīng)的y₁＞0；x₂=1時(shí)，對應(yīng)的y₂＞0，請你先判斷a，c的大小關(guān)系；再判斷當(dāng)0＜x＜1時(shí)拋物線與x軸是否有公共點(diǎn)，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法列出方程組即可解決問題．
（2）首先判斷C的符號，由  3a+2b+c＞0，又a+b+c=0，所以b=-a-c，得到3a+2b+c=3a+2（-a-c）+c=a-c＞0，即可判定a＞c＞0，b＜0，再利用根的判別式，以及頂點(diǎn)坐標(biāo)公式即可解決問題．

解答 解（1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{12a+4b-2=0}\\{3a-2b-2=0}\end{array}\right.$解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$
∴$y={x^2}-x-2={（x-\frac{1}{2}）^2}-\frac{9}{4}$
∵拋物線開口向上
∴當(dāng)$x=\frac{1}{2}$時(shí)，y有最小值$-\frac{9}{4}$．

（2）∵當(dāng)x₁=0時(shí)，y₁＞0；x₂=1時(shí)，y₂＞0
∴c＞0；   3a+2b+c＞0，
又∵a+b+c=0，
∴b=-a-c
∴3a+2b+c=3a+2（-a-c）+c=a-c＞0
∴a＞c＞0，b＜0
∵△=4b²-12ac=4（a+c）²-12ac=4[（a-c）²+ac]＞0，
∴拋物線y=3ax²+2bx+c與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)
∵拋物線的頂點(diǎn)$（-\frac{3a}；-\frac{{12ac-4{b^2}}}{12a}）$
∵$-\frac{3a}＞0；\frac{{12ac-4{b^2}}}{12a}＜0$
∴拋物線的頂點(diǎn)在第四象限
∵拋物線的對稱軸$x=-\frac{3a}$，
由a+b+c=0，c＞0，2a+b＞0，得-2a＜b＜-a．（由b=-a-c，c＞0，可知b＜-a）
∴$\frac{1}{3}＜-\frac{3a}＜\frac{2}{3}$．
∵當(dāng)x₁=0時(shí)，y₁=c＞0；x₂=1時(shí)，y₀=3a+2b+c＞0，
觀察圖象，可知在0＜x＜1范圍內(nèi)，該拋物線與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，根的判別式、頂點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識解決問題，屬于中考�？碱}型．