Question

9．如圖，四邊形ABCD是矩形，AD=2AB，AB=6，E為AD中點，M為CD上的任意一點，PE⊥EM交BC于點P，EN平分∠PEM交BC于點N．
（1）若△PEN為等腰三角形，請直接寫出∠DEM所有可能的值；
（2）當DM=1時，求PN的值；
（3）過點P作PG⊥EN于點G，K為EM中點，連接DK、KG．當時，求DK+KG+GP的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)△PEN為等腰三角形，分PE=PN，PE=EN，PN=EN三種情況求出∠DEM所有可能的值即可；
（2）如圖1，過E作EF⊥BC于F，連接MN，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，且夾邊相等，利用ASA得到三角形PEF與三角形MED全等，利用全等三角形對應邊相等得到PE=DM=1，EP=EM，再利用SAS得到三角形EPN與三角形EMN全等，利用全等三角形對應邊相等得到MN=PN，即可求出PN的長；
（3）如圖2，易知DK=$\frac{1}{2}$EM，PG=$\frac{EP}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EM，連接GM，利用SAS得到三角形EPG與三角形PEG全等，利用全等三角形對應角相等，表示出GK，分別代入原式變形后，根據(jù)EM的范圍求出最大值與最小值即可．

解答 解：（1）若△PEN為等腰三角形，∠DEM所有可能的值為0°，22.5°，45°；
（2）如圖1，過E作EF⊥BC于F，連接MN，
∵EF⊥AD，PE⊥EM，
∴∠PEF+∠FEM=90°，∠FEM+∠DEM=90°，
∴∠PEF=∠MED，
∵AD=2AB，E為AD中點，且EF=AB，
∴EF=ED，
在△PEF和△MED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEF=∠MED}\\{EF=ED}\\{∠EFP=∠D=90°}\end{array}\right.$，
∴△EPF≌△EMD（ASA），
∴PF=DM=1，EP=EM，
在△EPN和△EMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{EP=EM}\\{∠PEN=∠MEN}\\{EN=EN}\end{array}\right.$，
∴△EPN≌△EMN（SAS），
∴MN=PN，
在△CMN中，由勾股定理有CN²+CM²=MN²，即（7-PN）²+5²=PN²，
解得：PN=$\frac{37}{7}$；
（3）如圖2，易知DK=$\frac{1}{2}$EM，PG=$\frac{EP}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EM，
連接GM，
在△EMG和△EPG中，
$\left\{\begin{array}{l}{EP=EM}\\{∠PEG=∠MEG}\\{EG=EG}\end{array}\right.$，
∴△EMG≌△EPG（SAS），
∴∠EGM=∠EGP=90°，
∴GK=$\frac{1}{2}$EM，
∴DK+KG+GP=$\frac{1}{2}$EM+$\frac{1}{2}$EM+$\frac{\sqrt{2}}{2}$EM=（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）EM（6≤EM≤6$\sqrt{2}$），
則DK+KG+GP的最大值為6+6$\sqrt{2}$，最小值為6+3$\sqrt{2}$．

點評 此題屬于四邊形綜合題，涉及的知識有：矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關鍵．