Question

19．在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開(kāi)始向點(diǎn)B以2cm/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開(kāi)始向點(diǎn)A以1cm/秒的速度移動(dòng)，如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（秒）表示運(yùn)動(dòng)時(shí)間（0≤t≤6），那么當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△ABD相似？說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 由題意可設(shè)AP=2tcm，DQ=tcm，又由AB=12cm，AD=6cm，即可求得AQ的值，然后分別從①當(dāng)$\frac{AQ}{AD}$=$\frac{AP}{AB}$時(shí)，△APQ∽△ABD；與②當(dāng)$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{AP}{AD}$時(shí)，△APQ∽△ADB，然后利用方程即可求得t的值．

解答 解：設(shè)AP=2tcm，DQ=tcm，
∵AB=12cm，AD=6cm，
∴AQ=（6-t）cm，
∵∠A=∠A，
∴①當(dāng) $\frac{AQ}{AD}$=$\frac{AP}{AB}$時(shí)，△APQ∽△ABD，
∴$\frac{6-t}{6}$=$\frac{2t}{12}$，
解得：t=3；
②當(dāng) $\frac{AQ}{AB}$=$\frac{AP}{AD}$時(shí)，△APQ∽△ADB，
∴$\frac{6-t}{12}$=$\frac{2t}{6}$，
解得：t=1.2．
∴當(dāng)t=3或1.2時(shí)，△APQ與△ABD相似．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是注意分類(lèi)討論思想、方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．