已知拋物線y=-
2
3
x2+bx+c
與x軸交于不同的兩點(diǎn)A(x1,0)和B(x2,0),與y軸交于點(diǎn)C,且x1,x2是方程x2-2x-3=0的兩個(gè)根(x1<x2).
(1)求拋物線的解析式;
(2)過點(diǎn)A作ADCB交拋物線于點(diǎn)D,求四邊形ACBD的面積;
(3)如果P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、C重合),過點(diǎn)P作平行于x軸的直線l交BC于點(diǎn)Q,那么在x軸上是否存在點(diǎn)R,使得△PQR為等腰直角三角形?若存在,求出點(diǎn)R的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
(1)解方程x2-2x-3=0,
得x1=-1,x2=3.
∴點(diǎn)A(-1,0),點(diǎn)B(3,0).
-
2
3
×(-1)2+b•(-1)+c=0
-
2
3
×32+b•3+c=0
,
解,得
b=
4
3
c=2
,
∴拋物線的解析式為y=-
2
3
x2+
4
3
x+2.

(2)∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C.
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,2).
又點(diǎn)B(3,0),可求直線BC的解析式為y=-
2
3
x+2.
∵ADCB,
∴設(shè)直線AD的解析式為y=-
2
3
x+b′.
又點(diǎn)A(-1,0),
∴b′=-
2
3
,直線AD的解析式為y=-
2
3
x-
2
3

y=-
2
3
x2+
4
3
x+2
y=-
2
3
x-
2
3
,
x1=-1
y1=0
,
x2=4
y2=-
10
3
,
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,-
10
3
).
過點(diǎn)D作DD’⊥x軸于D’,DD’=
10
3
,則又AB=4.
∴四邊形ACBD的面積S=
1
2
AB•OC+
1
2
AB•DD’=10
2
3


(3)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)R,設(shè)直線l交y軸于點(diǎn)E(0,m),
∵點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合,
∴0<m<2,
∵點(diǎn)A(-1,0),點(diǎn)C(0,2),
∴可求直線AC的解析式為y=2x+2,
∴點(diǎn)P(
1
2
m-1,m).
∵直線BC的解析式為y=-
2
3
x+2,
∴點(diǎn)Q(-
3
2
m+3,m).
∴PQ=-2m+4.在△PQR中,
①當(dāng)RQ為底時(shí),過點(diǎn)P作PR1⊥x軸于點(diǎn)R1,則∠R1PQ=90°,PQ=PR1=m.
∴-2m+4=m,
解得m=
4
3

∴點(diǎn)P(-
1
3
,
4
3
),
∴點(diǎn)R1坐標(biāo)為(-
1
3
,0).
②當(dāng)RP為底時(shí),過點(diǎn)Q作QR2⊥x軸于點(diǎn)R2,
同理可求,點(diǎn)R2坐標(biāo)為(1,0).
③當(dāng)PQ為底時(shí),取PQ中點(diǎn)S,過S作SR3⊥PQ交x軸于點(diǎn)R3,
則PR3=QR3,∠PR3Q=90度.
∴PQ=2R3S=2m.
∴-2m+4=2m,
解,得m=1,
∴點(diǎn)P(-
1
2
,1),點(diǎn)Q(
3
2
,1),可求點(diǎn)R3坐標(biāo)為(
1
2
,0).
經(jīng)檢驗(yàn),點(diǎn)R1,點(diǎn)R2,點(diǎn)R3都滿足條件.
綜上所述,存在滿足條件的點(diǎn)R,它們分別是R1-
1
3
,0),R2(1,0)和點(diǎn)R3
1
2
,0).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

拋物線y=
1
2
x2+(k+
1
2
)x+(k+1)(k為常數(shù))與x軸交于A(x1,0)、B(x2,0)(x1<0<x2)兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),且滿足(OA+OB)2=OC2+16.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)設(shè)M、N是拋物線在x軸上方的兩點(diǎn),且到x軸的距離均為1,點(diǎn)P是拋物線的頂點(diǎn),問:過M、N、C三點(diǎn)的圓與直線CP是否只有一個(gè)公共點(diǎn)C?試證明你的結(jié)論.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在矩形OABC中,OA=8,OC=4,OA、OC分別在x,y軸上,點(diǎn)D在OA上,且CD=AD,
(1)求直線CD的解析式;
(2)求經(jīng)過B、C、D三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(3)在上述拋物線上位于x軸下方的圖象上,是否存在一點(diǎn)P,使△PBC的面積等于矩形的面積?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在請(qǐng)說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖1,拋物線y=ax2-3ax+b經(jīng)過A(-1,0),C(3,2)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)D,與x軸交于另一點(diǎn)B.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)若直線y=kx-1(k≠0)將四邊形ABCD面積二等分,求k的值;
(3)如圖2,過點(diǎn)E(1,-1)作EF⊥x軸于點(diǎn)F,將△AEF繞平面內(nèi)某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后得△MNQ(點(diǎn)M,N,Q分別與點(diǎn)A,E,F(xiàn)對(duì)應(yīng)),使點(diǎn)M,N在拋物線上,求點(diǎn)M,N的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

拋物線經(jīng)過A、B、C三點(diǎn),頂點(diǎn)為D,且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)求D和E的坐標(biāo),并求四邊形ABDE的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

學(xué)校要建造一個(gè)圓形噴水池,在水池中央垂直于水面安裝一個(gè)花形柱子OA.O恰好在水面中心,安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水,水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下.且在過OA的任意平面上的拋物線如圖1所示,建立平面直角坐標(biāo)系(如圖2),水流噴出的高度y(m)與水面距離x(m)之間的函數(shù)關(guān)系式是y=-x2+
5
2
x+
3
2
,請(qǐng)回答下列問題:
(1)花形柱子OA的高度;
(2)若不計(jì)其它因素,水池的半徑至少要多少米,才能使噴出的水不至于落在池外?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,矩形ABCD中,AB=6cm,AD=3cm,點(diǎn)E在邊DC上,且DE=4cm.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿著A?B?C?E的路線以2cm/s的速度移動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A開始沿著AE以1cm/s的速度移動(dòng),當(dāng)點(diǎn)Q移動(dòng)到點(diǎn)E時(shí),點(diǎn)P停止移動(dòng).若點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā),設(shè)點(diǎn)Q移動(dòng)時(shí)間為t(s),P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路線與線段PQ圍成的圖形面積為S(cm2),求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,以△ABC的邊AC為直徑的半圓交AB于D,三邊長a,b,c能使二次函數(shù)y=
1
2
(c+a)x2-bx+
1
2
(c-a)
的頂點(diǎn)在x軸上,且a是方程z2+z-20=0的一個(gè)根.
(1)證明:∠ACB=90°;
(2)若設(shè)b=2x,弓形面積S弓形AED=S1,陰影部分面積為S2,求(S2-S1)與x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)b為何值時(shí),(S2-S1)最大?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

定義[a,b,c]為函數(shù)y=axw+bx+c的特征數(shù),下面給出特征數(shù)為[wm,1-m,-1-m]的函數(shù)的一些結(jié)論:
①當(dāng)m=-3時(shí),函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(
1
3
,
8
3
);
②當(dāng)m>大時(shí),函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度大于
3
w
;
③當(dāng)m<大時(shí),函數(shù)在x>
1
時(shí),y隨x的增大而減我;
④當(dāng)m≠大時(shí),函數(shù)圖象經(jīng)過x軸上一一定點(diǎn).
其1正確的結(jié)論有______.(只需填寫序號(hào))

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