如圖1,拋物線y=ax2-3ax+b經(jīng)過A(-1,0),C(3,2)兩點,與y軸交于點D,與x軸交于另一點B.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)若直線y=kx-1(k≠0)將四邊形ABCD面積二等分,求k的值;
(3)如圖2,過點E(1,-1)作EF⊥x軸于點F,將△AEF繞平面內(nèi)某點旋轉(zhuǎn)180°后得△MNQ(點M,N,Q分別與點A,E,F(xiàn)對應(yīng)),使點M,N在拋物線上,求點M,N的坐標(biāo).
(1)∵拋物線y=ax2-3ax+b過A(-1,0)、C(3,2),
∴0=a+3a+b,2=9a-9a+b.
解得a=-
1
2
,b=2,
∴拋物線解析式y(tǒng)=-
1
2
x2+
3
2
x+2.

(2)如圖1,過點C作CH⊥AB于點H,
由y=-
1
2
x2+
3
2
x+2得B(4,0)、D(0,2).
又∵A(-1,0),C(3,2),
∴CDAB.
由拋物線的對稱性得四邊形ABCD是等腰梯形,
∴S△AOD=S△BHC
設(shè)矩形ODCH的對稱中心為P,則P(
3
2
,1).
由矩形的中心對稱性知:過P點任一直線將它的面積平分.
∴過P點且與CD相交的任一直線將梯形ABCD的面積平分.
當(dāng)直線y=kx-1經(jīng)過點P時,
得1=
3
2
k-1
∴k=
4
3

∴當(dāng)k=
4
3
時,直線y=
4
3
x-1將四邊形ABCD面積二等分.

(3)如圖2,由題意知,
∵△AEF繞平面內(nèi)某點旋轉(zhuǎn)180°后得△MNQ,
∴設(shè)繞點I旋轉(zhuǎn),聯(lián)結(jié)AI,NI,MI,EI,
∵AI=MI,NI=EI,
∴四邊形AEMN為平行四邊形,
∴ANEM且AN=EM.
∵E(1,-1)、A(-1,0),
∴設(shè)M(m,n),則N(m-2,n+1)
∵M、N在拋物線上,
∴n=-
1
2
m2+
3
2
m+2,n+1=-
1
2
(m-2)2+
3
2
(m-2)+2,
解得m=3,n=2.
∴M(3,2),N(1,3).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于點B、C,拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點B、C,點A是拋物線與x軸的另一個交點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)求△ABC的面積;
(3)若P是拋物線上一點,且S△ABP=
1
2
S△ABC,這樣的點P有______個.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線y=-
2
3
x2+bx+c
與x軸交于不同的兩點A(x1,0)和B(x2,0),與y軸交于點C,且x1,x2是方程x2-2x-3=0的兩個根(x1<x2).
(1)求拋物線的解析式;
(2)過點A作ADCB交拋物線于點D,求四邊形ACBD的面積;
(3)如果P是線段AC上的一個動點(不與點A、C重合),過點P作平行于x軸的直線l交BC于點Q,那么在x軸上是否存在點R,使得△PQR為等腰直角三角形?若存在,求出點R的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中有一矩形ABCO(O為原點),點A、C分別在x軸、y軸上,且C點坐標(biāo)為(0,6),將△BCD沿BD折疊(D點在OC上),使C點落在OA邊的E點上,并將△BAE沿BE折疊,恰好使點A落在BD邊的F點上.
(1)求BC的長,并求折痕BD所在直線的函數(shù)解析式;
(2)過點F作FG⊥x軸,垂足為G,F(xiàn)G的中點為H,若拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過B、H、D三點,求拋物線解析式;
(3)點P是矩形內(nèi)部的點,且點P在(2)中的拋物線上運動(不含B、D點),過點P作PN⊥BC,分別交BC和BD于點N、M,是否存在這樣的點P,使S△BNM=S△BPM?如果存在,求出點P的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知△ABC是邊長為4的等邊三角形,BC在x軸上,點D為BC的中點,點A在第一象限內(nèi),AB與y軸的正半軸相交于點E,點B(-1,0),P是AC上的一個動點(P與點A、C不重合)
(1)求點A、E的坐標(biāo);
(2)若y=-
6
3
7
x2+bx+c過點A、E,求拋物線的解析式;
(3)連接PB、PD,設(shè)L為△PBD的周長,當(dāng)L取最小值時,求點P的坐標(biāo)及L的最小值,并判斷此時點P是否在(2)中所求的拋物線上,請充分說明你的判斷理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,矩形ABCD的頂點A、D在拋物線y=-
2
3
x2+
8
3
x
上,B、C在x軸的正半軸上,且矩形始終在拋物線與x軸圍成的區(qū)域里.
(1)設(shè)點A的橫坐標(biāo)為x,試求矩形的周長P關(guān)于變量x的函數(shù)表達式;
(2)當(dāng)點A運動到什么位置時,相應(yīng)矩形的周長最大?最大周長是多少?
(3)在上述這些矩形中是否存在這樣一個矩形,它的周長為7?若存在,求出該矩形的各頂點的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如如在直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=x2-4x+中的頂點是C,與x軸相交于A,B兩點(A在B的左邊).
(1)若點B的橫坐標(biāo)xB滿足5<xB<c,求中的取值范圍;
(2)若tan∠ACB=
4
,求中的值;
(十)當(dāng)中=c時,點D,E同時從點B出發(fā),分別向左、向右在拋物線它移動,點D,E在x軸它的正投影分別為M,N,設(shè)BM=m(m<cB),BN=n,當(dāng)m,n滿足怎樣的等量關(guān)系時,△cDE的內(nèi)心在x軸它?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知A、B是線段MN上的兩點,MN=4,MA=1,MB>1.以A為中心順時針旋轉(zhuǎn)點M,以B為中心逆時針旋轉(zhuǎn)點N,使M、N兩點重合成一點C,構(gòu)成△ABC,設(shè)AB=x.
(1)求x的取值范圍;
(2)若△ABC為直角三角形,求x的值;
(3)探究:△ABC的最大面積?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線y=2x2+bx-2經(jīng)過點A(1,0).
(1)求b的值;
(2)設(shè)P為此拋物線的頂點,B(a,0)(a≠1)為拋物線上的一點,Q是坐標(biāo)平面內(nèi)的點,若以A、B、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形,這樣的Q點有幾個,并求出PQ的長.

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