如圖,以△ABC的邊AC為直徑的半圓交AB于D,三邊長a,b,c能使二次函數(shù)y=
1
2
(c+a)x2-bx+
1
2
(c-a)
的頂點在x軸上,且a是方程z2+z-20=0的一個根.
(1)證明:∠ACB=90°;
(2)若設(shè)b=2x,弓形面積S弓形AED=S1,陰影部分面積為S2,求(S2-S1)與x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)b為何值時,(S2-S1)最大?
(1)因為二次函數(shù)y=
1
2
(a+c)x2-bx+
1
2
(c-a)的頂點在x軸上,
∴△=0,
即b2-4×
1
2
(a+c)×
1
2
(c-a)=0,
∴c2=a2+b2,
得∠ACB=90°,
或者從拋物線頂點的縱坐標(biāo)為零求得
y=
1
2
(a+c)×
1
2
(c-a)-b2
1
2
(a+c)
=0,
可得c2=a2+b2;

(2)∵z2+z-20=0.
∴z1=-5,z2=4,
∵a>0,得a=4,
設(shè)b=AC=2x,有S△ABC=
1
2
AC•BC=4x,S半圓=
1
2
πx2,
∴S2-S1=S△ABC-(S半圓-S1)-S1=S△ABC-S半圓=-
π
2
x2+4x,

(3)S2-S1=-
π
2
(x-
4
π
2+
8
π

∴當(dāng)x=
4
π
,
即b=
8
π
時,(S2-S1)有最大值
8
π
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在足球比賽中,當(dāng)守門員遠(yuǎn)離球門時,進(jìn)攻隊員常常使用“吊射”的戰(zhàn)術(shù)(把球高高地挑過守門員的頭頂,射入球門).一位球員在離對方球門30米的M處起腳吊射,假如球飛行的路線是一條拋物線,在離球門14米時,足球達(dá)到最大高度
32
3
米.如圖a:以球門底部為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)系,球門PQ的高度為2.44米.問:

(1)通過計算說明,球是否會進(jìn)球門?
(2)如果守門員站在距離球門2米遠(yuǎn)處,而守門員跳起后最多能摸到2.75米高處,他能否在空中截住這次吊射?
(3)如圖b:在另一次地面進(jìn)攻中,假如守門員站在離球門中央2米遠(yuǎn)的A點處防守,進(jìn)攻隊員在離球門中央12米的B處以120千米/小時的球速起腳射門,射向球門的立柱C.球門的寬度CD為7.2米,而守門員防守的最遠(yuǎn)水平距離S和時間t之間的函數(shù)關(guān)系式為S=10t,問這次射門守門員能否擋住球?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,Rt△AOB的頂點坐標(biāo)分別為A(-2,0),O(0,0),B(0,2),把Rt△AOB繞著點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△BOC,(點A旋轉(zhuǎn)到點B的位置),拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過B,C兩點,與x軸的另一個交點為點D,頂點為點P,對稱軸為直線x=3,
(1)求該拋物線的解析式;
(2)連接BC,CP,PD,BD,求四邊形PCBD的面積;
(3)在拋物線上是否存在一點M,使得△MDC的面積等于四邊形PCBD的面積
1
3
?如果存在,求出點M的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線y=-
2
3
x2+bx+c
與x軸交于不同的兩點A(x1,0)和B(x2,0),與y軸交于點C,且x1,x2是方程x2-2x-3=0的兩個根(x1<x2).
(1)求拋物線的解析式;
(2)過點A作ADCB交拋物線于點D,求四邊形ACBD的面積;
(3)如果P是線段AC上的一個動點(不與點A、C重合),過點P作平行于x軸的直線l交BC于點Q,那么在x軸上是否存在點R,使得△PQR為等腰直角三角形?若存在,求出點R的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,有一拋物線形拱橋,拱頂M距橋面1米,橋拱跨度AB=12米,拱高M(jìn)N=4米.
(1)求表示該拱橋拋物線的解析式;
(2)按規(guī)定,汽車通過橋下時載貨最高處與橋拱之間的距離CD不得小于0.5米.今有一寬4米,高2.5米(載貨最高處與地面AB的距離)的平頂運貨汽車要通過拱橋,問該汽車能否通過?為什么?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c中,函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如下表:

(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)求以二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點為頂點的三角形面積;
(3)若A(m,y1),B(m-1,y2),兩點都在該函數(shù)的圖象上,且m<2,試比較y1與y2的大小.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,矩形ABCD的頂點A、D在拋物線y=-
2
3
x2+
8
3
x
上,B、C在x軸的正半軸上,且矩形始終在拋物線與x軸圍成的區(qū)域里.
(1)設(shè)點A的橫坐標(biāo)為x,試求矩形的周長P關(guān)于變量x的函數(shù)表達(dá)式;
(2)當(dāng)點A運動到什么位置時,相應(yīng)矩形的周長最大?最大周長是多少?
(3)在上述這些矩形中是否存在這樣一個矩形,它的周長為7?若存在,求出該矩形的各頂點的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知A、B是線段MN上的兩點,MN=4,MA=1,MB>1.以A為中心順時針旋轉(zhuǎn)點M,以B為中心逆時針旋轉(zhuǎn)點N,使M、N兩點重合成一點C,構(gòu)成△ABC,設(shè)AB=x.
(1)求x的取值范圍;
(2)若△ABC為直角三角形,求x的值;
(3)探究:△ABC的最大面積?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線y=ax2-5ax+4經(jīng)過△ABC的三個頂點,已知BCx軸,點A在x軸上,點C在y軸上,且AC=BC.
(1)求拋物線的對稱軸;
(2)寫出A,B,C三點的坐標(biāo)并求拋物線的解析式;
(3)探究:若點P是拋物線對稱軸上且在x軸下方的動點,是否存在△PAB是等腰三角形?若存在,求出所有符合條件的點P坐標(biāo);不存在,請說明理由.

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同步練習(xí)冊答案