Question

19．如圖，正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，以O(shè)為圓心，EF為直徑的半圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，連接AE，CF相交于點(diǎn)P，將正方形OABC從OA與OF重合的位置開(kāi)始，繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，交點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是（　�。�

• A． 2π
• B． $\sqrt{2}$π
• C． 3$\sqrt{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 如圖，連接AC．首先證明∠EPF=135°，推出點(diǎn)P在與K為圓心的圓上，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是$\widehat{EPF}$，在⊙K上取一點(diǎn)M，連接ME、MF、EK、FK，則∠M=180°-∠EPF=45°，推出∠EKF=2∠M=90°，因?yàn)镋F=4，所以KE=KF=2$\sqrt{2}$，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可解決問(wèn)題．

解答 解：如圖，連接AC．

∵AOCB是正方形，
∴∠AOC=90°，
∴∠AFC=$\frac{1}{2}$∠AOC=45°，
∵EF是直徑，
∴∠EAF=90°，
∴∠APF=∠AFP=45°，
∴∠EPF=135°，
∴點(diǎn)P在與K為圓心的圓上，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是$\widehat{EPF}$，
在⊙K上取一點(diǎn)M，連接ME、MF、EK、FK，則∠M=180°-∠EPF=45°，
∴∠EKF=2∠M=90°，
∵EF=4，
∴KE=KF=2$\sqrt{2}$，
∴P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)=$\frac{90π•2\sqrt{2}}{180}$=$\sqrt{2}$π，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡、正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、圓的有關(guān)知識(shí)、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，屬于中考�？碱}型．